浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-02-09 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若直线过点（1，2），（2，2+ $\sqrt{3}$ ），则此直线的倾斜角是（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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2. 空间内有三点 $A (3, 4, 4)$ ， $B (1, 5, 2)$ ， $C (3, 7, 0)$ ，则点 $A$ 到 $B C$ 的中点 $P$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $4$

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3. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2 ， a_{2} + a_{3} = 13$ 则 $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ 等于（）

A、40 B、42 C、43 D、45

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4. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{}$ 中， $A B = A D = 2, A A_{1} = 4$ ，则 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 已知离心率为2的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $A$ 、 $B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 4$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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6. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} + S_{n + 1} = n (n + 2)$ ，则 $\frac{S_{2024}}{S_{2023}} =$ （）

A、 $\frac{1013}{1012}$ B、 $\frac{2023}{2024}$ C、 $\frac{2025}{2023}$ D、 $\frac{1013}{1011}$

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7. 已知 $a = 3 \ln 2^{t}$ ， $b = 2 \ln 3^{t}$ ， $c = 3 \ln t^{2}$ ，其中 $t \in (3, 4)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上一点，且 $2 \overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}} = |\overset{⃑}{P F_{1}}| \cdot |\overset{⃑}{P F_{2}}|$ ，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆的半径 $r$ 满足 $|\overset{⃑}{P F_{1}}| = 3 r \sin ∠ F_{1} F_{2} P$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l / / α$ B、两个不同的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{m} = (3, 6, k)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则实数 $k = 15$ D、若 $\vec{A B} = (2, - 1, - 4)$ ， $\vec{A C} = (4, 2, 0)$ ， $\vec{A P} = (0, - 4, - 8)$ ，则点 $P$ 在平面 $A B C$ 内

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10. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，下列结论正确的是（）

A、若 $A (2, \frac{1}{2})$ ，则 $|A F| = \frac{5}{2}$ B、若 $E (2, 3)$ ，则 $|A E| + |A F|$ 的最小值为4 C、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $y = - 2$ 相切 D、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为1

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11. 已知无穷数列 ${a_{n}}$ 的前3项分别为2，4，8，…，则下列叙述正确的是（）

A、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，则 $a_{n} = 2^{n}$ B、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 3} = a_{n}$ ，则 $a_{2024} = 8$ C、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 3} = a_{n}$ ，则 $a_{2024} = 4$ D、若 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 n + a_{n}$ ，则 $a_{n} = n^{2} - n + 2$

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ 的图象在 $x = 2$ 处切线的斜率为 $9$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 3$ B、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值 C、当 $x \in (- 2, 1]$ 时， $f (x) \in (- 1, 3]$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 中心对称

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $M (2, 2 \sqrt{2})$ 为抛物线上一点，则 $|M F| =$ .

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14. 点 $(0 ， 2)$ 到直线 $y = k (x + 2)$ 距离的最大值.

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15. 如图， $60 °$ 的二面角的棱上有 $A$ ， $B$ 两点，直线 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $A B ．$ 已知 $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， BD=7，则 $C D$ 的长为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x)$ 为奇函数，且 $f (x) - f^{'} (x) > 0.$ 则不等式 $f (x^{2} - 3 x + 2) > 0$ 的解集为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知圆 $M$ 的圆心为 $(1, 1)$ ，且与直线 $l_{1} : x - y + 4 = 0$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l_{2} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与圆M交于A，B两点，求 $|A B|$ .

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18. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} + a_{7} = 10 ， S_{10} = 55 .$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ D C, A B // D C$ ， $P C = A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上.

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $\vec{B E} = 2 \vec{E P}$ 时，求二面角 $P - A C - E$ 的余弦值.

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20. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少 $\frac{1}{5}$ ，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加 $\frac{1}{4}$ .

(1)、设n年内总投入金额为 $a_{n}$ 万元，牧草销售总收入为 $b_{n}$ 万元，求 $a_{n}, b_{n}$ 的表达式；

(2)、至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ( $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx 0.48$ )

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 \ln x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求证：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 - \frac{1}{a}$ ．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 离心率等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长为4.

(1)、求椭圆的标准方程 $C$ ；

(2)、若直线 $y = k x + m$ 与轨迹 $C$ 交于 $M ， N$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M ， O N$ 的斜率之积等于 $- \frac{1}{4}$ ，试探究 $△ O M N$ 的面积是否为定值，并说明理由.

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