【培优版】北师大版数学八年级上册 7.5三角形内角和定理同步练习

试卷更新日期：2025-01-05 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC
上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（）
①BF＝CF； ②若BE⊥AC，则CF＝DF；
③连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE
④.若BE平分∠ABC，则FG= $\frac{3}{2}$ ；

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点O， $△ A B C$ 的外角的平分线 $C D$ 所在直线与 $∠ A B C$ 的平分线交于点D，与 $△ A B C$ 的外角的平分线 $B E$ 交于点E．有下列结论∶① $∠ D B E = 90 °$ ；② $∠ B O C = 110 °$ ；③ $∠ D = 20 °$ ；④ $∠ E = 70 °$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2 个 C、3个 D、4个

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3. 如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）

A、① B、①② C、①②③ D、①②④

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4. 如图， $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $B D$ 、 $C D$ 、 $A D$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C F$ 、 $∠ E A C$ ．以下结论，其中正确的是（）
① $A D ∥ B C$ ；② $∠ A D B = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ；③ $∠ B A C = 2 ∠ B D C$ ；④ $∠ A D C + ∠ A B D = 90 °$ ．

A、①② B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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5. 如图，△ABC中，AB＝AC ，点E ， F分别为边AB ， BC上的点，将△BEF沿EF折叠得△PEF ，连结AP ， CP ，过点P作PD⊥AC于点D ，点D恰好是AC的中点．若∠BAC＝50°，AP平分∠BAC ，则∠PFC＝（　　）

A、100° B、90° C、80° D、60°

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6. 如图，等边 $△ A B C$ 中， $D$ 、 $E$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 边上的点， $A D = C E$ ，连接 $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ ， $∠ C B D$ 、 $∠ A E C$ 的平分线交于 $A C$ 边上的点 $G$ ， $B G$ 与 $A E$ 交于点 $H$ ，连接 $F G .$ 下列说法： $① △ A B D ≌ △ C A E$ ； $② ∠ B G E = 30 °$ ； $③ ∠ A B G = ∠ B G F$ ； $④ A B = A H + F G$ ；其中正确的说法有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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7. 如图， $∠ A O B = 3 0^{°} ， M 、 N$ 分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记 $∠ A M P$ $= ∠ 1 ， ∠ O N Q = ∠ 2$ ，当 $M P + P Q + Q N$ 最小时，则关于 $∠ 1 、 ∠ 2$ 的数量关系正确的是（）

A、 $∠ 1 + ∠ 2 = 9 0^{°}$ B、 $2 ∠ 1 + ∠ 2 = 18 0^{°}$ C、 $∠ 1 - ∠ 2 = 9 0^{°}$ D、 $2 ∠ 2 - ∠ 1 = 3 0^{°}$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，若 $∠ D A B$ 的平分线 $A E$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，连接 $B E$ ，且 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，则下列结论：① $∠ A E B = 9 0^{∘}$ ；② $E$ 为 $C D$ 的中点；③ $B C + A D = A B$ ；④ $S_{△ A B E} = \frac{1}{2} S_{□ A B C D}$ ，其中正确的是（）.

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

9. 如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝．

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10. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A D = 110 °$ ， $∠ C = 70 °$ ，点M ， N分别在 $B C$ ， $C D$ 上，当 $△ A M N$ 的周长最小时， $∠ M A N$ 的度数为度．

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11. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $B D = A D = 2$ ，在 $B C$ 的延长线上有一点 $E$ 使得 $A E = A D$ ，过点 $E$ 作 $A C$ 的垂线，垂足为 $F$ ，若 $∠ F E A = 67.5 °$ ，则 $C E =$ ．

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12. 如图， $∠ A O B = 20 °$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是边 $O A$ 、 $O B$ 上的定点，点 $P$ 、 $Q$ 分别是边 $O B$ 、 $O A$ 上的动点，记 $∠ M P Q = α$ ， $∠ P Q N = β$ ，当 $M P + P Q + Q N$ 最小时，则 $β - α$ 的值为.

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13. 如图①，点 $E 、 F$ 分别为长方形纸带 $A B C D$ 的边 $A D 、 B C$ 上的点， $∠ E F C = α$ ，将纸带沿 $E F$ 折叠成图②（ $G$ 为 $E D$ 和 $B F$ 的交点），再沿 $B F$ 折叠成图③（ $H$ 为 $E F$ 和 $D G$ 的交点），则图③中的 $∠ H F C =$ （结果用含 $α$ 的代数式表示）．

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三、解答题

14. 在△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC=α，D是直线BC上一点（不与点B ， C重合），以AD为边在AD的右侧作△ADE ，使AD＝AE ， ∠DAE＝∠BAC ，连接CE ．

(1)、【发现】如图1，点D在线段BC上．
①求证：△ABD≌△ACE；
②当∠BAC＝100°时，求∠BCE的度数；

(2)、【探究】在点D的运动过程中，当DE垂直于△ABC的某边所在直线时，求∠DEC的度数．（用含α的式子表示）

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15. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如 $120 ° ， 40 ° ， 20 °$ 的三角形是“智慧三角形”．如图， $∠ M O N = 60 °$ ，在射线 $O M$ 上找一点A，过点 $A$ 作 $A B ⊥ O M$ 交 $O N$ 于点 $B$ ，以 $A$ 为端点作射线 $A D$ ，交射线 $O B$ 于点 $C$ ．

(1)、 $∠ A B O$ 的度数为_______°， $△ A O B$ ______（填“是”或“不是”）智慧三角形；

(2)、若 $∠ O A C ＝ 20 °$ ，求证： $△ A O C$ 为“智慧三角形”；

(3)、当 $△ A B C$ 为“智慧三角形”时，求 $∠ O A C$ 的度数．

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16. 如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线相交于点 $P$ ．

(1)、若 $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B P C$ 的度数是　　；

(2)、如图 $②$ ，作 $△ A B C$ 外角 $∠ M B C$ ， $∠ N C B$ 的角平分线交于点 $Q$ ，试探索 $∠ Q$ ， $∠ A$ 之间的数量关系；

(3)、如图 $③$ ，延长线段 $B P$ ， $Q C$ 交于点 $E$ ，在 $△ B Q E$ 中，存在一个内角等于另一个内角的 $3$ 倍，求 $∠ A$ 的度数．

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17. 如图，已知 $A B / / C D$ ，现将一直角三角形 $P M N$ 放入图中，其中 $∠ P = 90 °$ ， $P M$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $P N$ 交 $C D$ 于点 $F$
（1）当 $△ P M N$ 所放位置如图①所示时，则 $∠ P F D$ 与 $∠ A E M$ 的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当 $△ P M N$ 所放位置如图②所示时， $∠ P F D$ 与 $∠ A E M$ 的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若 $M N$ 与 $C D$ 交于点O，且 $∠ D O N = 30 °$ ， $∠ P E B = 15 °$ ，求 $∠ N$ 的度数．

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18. 如图1，将一张宽度相等的纸条（ $A D ∥ B C$ ）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，且 $C^{'} E$ 交 $A D$ 于点G．

(1)、若 $∠ A G C^{'} = 128 °$ ，则 $∠ F E C =$ ______度．

(2)、如图 $2$ ，在（1）的条件下，将四边形 $G F D^{'} C^{'}$ 沿 $G F$ 向下翻折，记 $C^{'}$ ， $D^{'}$ 的对应点分别为 $C^{″}$ ， $D^{″}$ ．再将长方形 $A B C D$ 沿着 $P Q$ 翻折，记 $A ， B$ 的对应点分别为 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ，折痕为 $P Q$ （点 $P$ 在 $B C$ 上，点 $Q$ 在 $A D$ 上）．若 $A^{'} B^{'} ∥ C^{″} D^{″}$ ，求 $∠ B P Q$ 的度数．

(3)、如图 $3$ ，分别作 $∠ A G E$ ， $∠ B E G$ 的平分线交于点 $M$ ，连结 $G M ， E M ， B M ，$ 作 $∠ B M E$ 的平分线交 $B E$ 于点 $N$ ，延长 $G M$ 交 $B E$ 于点 $Q$ ．若 $∠ M B E = 8 °$ ， $∠ F G C^{″}$ 比 $∠ G F E$ 多27°，求 $∠ Q M N$ 的度数

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19. 如图1，△ABC是等边三角形，D为AC边上一点，连结BD ，点C关于BD的对称点为点E ，连结BE ．

(1)、若AB是∠DBE的平分线，求∠ABD的度数；

(2)、如图2，连结EA并延长交BD的延长线于点F ，
①求∠F的度数；
②探究EA ， AF和BF三者之间满足的等量关系，并说明理由．

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20. 如图，已知 $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，延长 $B D$ 到 $E$ ，使得 $E D = A D$ ，连接 $E C$ ，若 $B C = A B + E C$ ，且 $∠ A = α (70 ° \leq α \leq 100 °)$ ．

(1)、求证： $C D$ 平分 $∠ B C E$ ；

(2)、求 $∠ E$ 的取值范围；

(3)、若延长 $B A$ ， $C E$ 相交于点 $H$ ，求 $∠ H$ 的度数．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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