几何初步综合与实践题—广东省（人教版）数学七（上）期末复习

试卷更新日期：2025-01-04 类型：复习试卷

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一、几何初步

  • 1. 综合应用：

    三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．

    【数学来源于生活】

    动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．

    (1)、在的摆放方式中∠α与∠β互余；在的摆放方式中∠α与∠β互补
    (2)、在哪种摆放方式中∠α与∠β相等？请说明理由．
    (3)、【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若∠DCE=25° ， 则∠ACB=°；若∠ACB=130° ， 则∠DCE=° ．
    (4)、如图2所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．

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  • 2. 综合探究

    如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且∠ABC=∠DCE=90° ， ∠ACB=45° ， ∠CED=30°.

    图1                                                                图2

    (1)、如图1，∠ACD=°；
    (2)、如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使CE刚好落在∠ACB的平分线上.此时，CD是否平分∠ACF？请说明理由；
    (3)、如图2，把三角板CDE绕点C旋转，使得CE落在∠ACB内部，

    当∠ACE=10°时，则∠BCD=_▲_°；

    当∠BCD=110°时，则∠ACE=_▲_°；

    设∠ACE=α ， ∠BCD=β ， 试猜想α与β的数量关系，并说明理由.

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  • 3. 综合与实践
    (1)、【问题情境】下面左图是一个三角形，已知∠ACB＝90° ， 那么∠A的余角是哪个角呢？

    答：；

    (2)、【实践探究】小明用三角尺在这个三角形中画了一条高CD（点D是垂足），得到右图．

    【问题解决】在右图中，小明通过仔细观察、认真思考，找出了三对余角 ， 请你帮小明把它们写出来：①；②；③；

    (3)、在右图中，∠ACB ， ∠ADC ， ∠CDB都是直角，所以∠ACB=∠ADC=∠CDB=90° ， 小明还发现了另外两对相等的锐角 ， 请你也仔细地观察、认真地思考分析，把它们写出来，并请说明理由．

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  • 4. 【问题情境】

    李老师给同学们布置了一项综合实践任务：利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品．

    【操作探究】

    (1)、同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒．

    小华 图案①       小君 图案②        小霞 图案③

    (2)、小李刚好有一张边长为15cm的正方形硬纸板，他打算在硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒．设底面边长为xcm ， 则这个纸盒的底面积是cm2 ， 高是cm（用含x的代数式表示）．

    (3)、小红所在的综合实践小组把折叠成6个棱长都为10cm的无盖正方体纸盒摆成如图所示的几何体．

    ①求这个几何体的体积；

    ②如果在这个几何体上再添加一些相同的正方体纸盒，并保持从上面看到的形状和从左面看到的形状不变，最多可以再添加_▲_个正方体纸盒．

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  • 5. 已知O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC ．

    (1)、【初步尝试】如图（1），若∠AOC=30° ， 则∠DOE的度数＝；
    (2)、【类比探究】在图（1）中，若∠AOC=α ， 求∠DOE度数；
    (3)、【拓展运用】如图（2）的位置关系，探究∠AOC与∠DOE之间的数量关系，直接写出你的结论．

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  • 6. 【综合与实践：】我们在“几何初步”这一章课题学习中探究了“如何制作长方体纸盒”，小明和小亮在课后对“如何制作正方体纸盒”又进行了探究：

    【动手操作：】小明用一张正方形的纸板按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为ccm的小正方形，再沿虚线折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．

    小亮用一张长方形的纸板按如图2所示的方式先在纸板四角剪去两个同样大小的小正方形和两个同样大小的小长方形，剩余部分折合起来可以制作一个有盖的正方体纸盒．（纸板厚度及接缝处忽略不计）

    【问题解决：】现有一块长为acm、宽为bcm的长方形纸板，请探究；

    (1)、若a=b ， 按图1的方式剪去的小正方形边长为ccm ， 做成一个无盖的正方体纸盒，此时，你发现c与b之间存在的数量关系为____________．
    (2)、若a>b ， 按如图2方式裁剪，做成一个有盖的正方体纸盒，发现a与b之间存在的数量关系是________．
    (3)、在（2）的条件下，若a=8cm ， 求有盖正方体纸盒的表面积．

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  • 7. 综合与实践课上，老师让同学们以“利用角平分线的概念，解决有关问题”为主题开展数学活动．已知一张条形彩带，点C在AB边上，点M、N在EF边上，如图所示．

    (1)、如图1，将彩带沿MC翻折，点A落在A'处，若∠A'CB=120° ， 则∠A'CM=°；
    (2)、若将彩带沿MC、NC同时向中间翻折，点A落在A'处，点B落在B'处；

    ①当点A'、B'、C共线时，如图2，求∠NCM的度数；

    ②当点A'、B'、C不共线时：

    (i)如图3，若∠NCM=110° ， 求∠A'CB'的度数；

    (ii)如图4，设∠NCM=α ， ∠A'CB'=β ， 直接写出α、β满足的关系式．

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  • 8. 【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线MN上，∠ABO=90°，∠AOB=60°，∠COD=90° ， ∠DCO=45°.三角板∠AOB的顶点与另一个三角板∠COD的顶点重合在点O处，三角板的边OC，OB与直线MN重合，三角板其它的边都在直线MN的上方.

    (1)、【实践探究】：

    如图2，若三角板AOB不动，将三角板COD绕点O以每秒6°的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板COD的边OC恰好分.∠AOB.

    ①此时t=秒：

    ②此时∠AOD=°=；

    (2)、【解决问题】：

    如图2，在(1)的条件下，边OC恰好平分.∠AOB时，同一时刻三角板AOB开始也绕点O以每秒10°的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边OA与边OD第一次重合?(如图3)请说明理由；

    (3)、【拓展研究】：

    如图3，在(2)的条件下，当边OA与边OD第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边OB恰好平分∠COD?请说明理由.

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  • 9. 综合探究

    如图，在直角△ABC中，∠ACB=90° ， 点A在直线MN上，点D、E在直线MN上运动（点D不与点A重合），且始终满足CE平分∠BCD ．

    (1)、当点D在点A左侧时，请直接写出∠CAD与∠CAE之间的数量关系．
    (2)、若∠CAE=60° ， 在点D、E运动的过程中，当△CDE是直角三角形时，求∠DCE的度数．
    (3)、请你在以点C为顶点的角中任选一个（∠BCD、∠ACD、∠ACB除外），在点D、E运动的过程中，探究所选角与∠ACD的数量关系，并写出具体过程．

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  • 10. 综合探究：

    整体思想是一种重要的数学思想方法，其思维方式是根据问题的结构特征，把一组数，一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察，分析，解决问题的一种方法．这样做，不仅简化解题过程，提高思维能力，还往往可以解决按常方法解决不了的一些问题．

    如：代数式4(a+b)+2(a+b)−(a+b)的化简问题．若把(a+b)看成一个整体，

    则：4(a+b)+2(a+b)−(a+b)=(4+2−1)(a+b)=3(a+b)=3a+3b ．

    这就是数学解题中的“整体思想”．

    请运用上面的“整体思想”解决下列问题：

    (1)、尝试应用：化简5(x+y)2−7(x+y)+2(x+y)2+6(x+y)
    (2)、拓展运用：如图1，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段AO、BO的中点，当AB=16时，求线段CD的长度．
    (3)、迁移运用：如图2，长方形纸片ABCD ， 点E ， F分别是边AB ， CD上任意一点，连接EF ． 将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B'处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A'处，得折痕EN ， ∠NEM的度数会随着折痕的变化而变化吗？说明你的理由．

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  • 11. 如图1，已知点A ， B在数轴上表示的数分别为−20和10，若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒。

    图1                                                                图2

    (1)、解决问题：

    若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，点P在线段AB上运动时，线段MN的长度是否发生变化？请说明理由；

    (2)、探索问题：

    当点P运动的同时，点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动。

    ①在运动过程中，点P表示的数为_▲_，点Q表示的数为_▲_.

    ②求运动多少秒时，点P与点Q相距3个单位长度？

    (3)、知识迁移：

    如图2，若线段OA与OB分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，∠AOB=60° ， 在时针与分针转动过程中，经过分钟后，∠AOB的度数第一次等于126°。

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