精选情境型—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

试卷更新日期：2025-01-04 类型：复习试卷

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一、一元二次方程

1. 为积极响应国家“双减”政策，某市推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次。设平均每批受益学生人次的增长率为x ，根据题意可列方程为（）。

A、 $2 {(1 - x)}^{2} = 2.42$ B、 $2.42 {(1 - x)}^{2} = 2$ C、 $2.42 {(1 + x)}^{2} = 2$ D、 $2 {(1 + x)}^{2} = 2.42$

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2. 印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 $\frac{1}{8}$ 的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是 $x$ 只，根据题意可列出的方程是（）

A、 ${(8 x)}^{2} = x - 12$ B、 ${(8 x)}^{2} = x + 12$ C、 $x = {(\frac{1}{8} x)}^{2} - 12$ D、 $x = {(\frac{1}{8} x)}^{2} + 12$

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3. 某商店将进货价格为 $20$ 元的商品按单价 $36$ 元售出时，能卖出 $200$ 个 $.$ 已知该商品单价每上涨 $1$ 元，其销售量就减少 $5$ 个 $.$ 设这种商品的售价上涨 $x$ 元时，获得的利润为 $1200$ 元，则下列关系式正确的是（）

A、 $(x + 16) (200 - 5 x) = 1200$ B、 $(x + 16) (200 + 5 x) = 1200$ C、 $(x - 16) (200 + 5 x) = 1200$ D、 $(x - 16) (200 - 5 x) = 1200$

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4. 国家通过药品集中带量采购，很多常用药的价格显著下降.某种药品经两次降价后，价格160元调整为40元，假设平均每次降价率为x，则可列方程为.

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5. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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二、二次函数

6. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开。已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长。小明认为：隔离区的最大面积为12m²；小亮认为：隔离区的面积可能为9m²。则：（）

A、小明正确，小亮错误 B、小明错误，小亮正确 C、两人均正确 D、两人均错误

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7. 烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高 $h (m)$ 与飞行时间 $t (s)$ 的关系式是 $h = - \frac{5}{2} t^{2} + 20 t + π (π > 0)$ ，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 $s .$

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8. 有一个直径 $A B$ 为 $20 m$ 的圆形喷水池，如图1，四周安装一圈喷头，喷射水柱呈抛物线型，在水池中心O处立着圆柱形实心石柱，各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，如图2，水柱在距水池中心 $4 m$ 处到达最高，高度为 $6 m$ ．

(1)、如图2，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，求石柱右侧抛物线的函数解析式；

(2)、求出石柱的高度．

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9. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验.如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点 $O$ ，守门员位于点 $A$ ， $O A$ 的延长线与球门线交于点 $B$ ，且点 $A$ ， $B$ 均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线.水平距离 $s$ 与离地高度 $h$ 的鹰眼数据如表：
$s / m$
0
9
12
15
18
21
…
图1
图2
$h / m$
0
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…

(1)、根据表中数据可得，当 $s =$ $m$ 时， $h$ 达到最大值 $m$ ；

(2)、求 $h$ 关于 $s$ 的函数解析式；

(3)、当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度 $2.6 m$ 时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时， $s = 24 m$ ，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明.

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10. 问题情境：小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A ， B ， C ， D ， E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元/盆）
日销售量（盆）
A
20
50
B
30
30
C
18
54
D
22
46
E
26
38
数据整理：（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
____
____
____
____
____
日销售量（盆）
____
____
____
____
____

(1)、模型建立：分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．

(2)、拓广应用：根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

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11. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线的一部分 $A E D$ 构成（以下简记为“抛物线 $A E D$ ”），其中 $A B = 4 m$ ， $B C = 6 m$ ，现取 $B C$ 中点O ，过点O作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点E ， $O E = 7 m$ ，若以O点为原点， $B C$ 所在直线为x轴， $O E$ 为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，其中L ， R在抛物线 $A E D$ 上，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为 $B K$ ，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线 $A E D$ 交于点P ，求线段 $P K$ 的长．

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12. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度 $A B$ 为 $30 m$ ，大孔顶点P距水面 $10 m$ （即 $P O = 10 m$ ），小孔水面宽度 $B C$ 为 $12 m$ ，小孔顶点Q距水面 $6 m$ （即 $Q D = 6 m$ ），建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求大孔抛物线的解析式；

(2)、现有一艘船高度是 $6 m$ ，宽度是 $18 m$ ，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．

(3)、当水位上涨 $4 m$ 时，求小孔的水面宽度 $E F$ ．

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三、旋转

13. 在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集 $2022$ 年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案 $4506$ 件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，得到 $△ A B C^{'}$ ．

(1)、【数学思考】老师问：当 $α$ 为多少度时， $A B ∥ D C$ ？（请写出证明过程）；

(2)、【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时， $α$ 为_▲_度．直接写出结果；
②“智慧小组”提出问题：连接BD ，当 $0 ° < α < 45 °$ 时，探求 $∠ D B C^{'} + ∠ C A C^{'} + ∠ B D C$ 值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．

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四、圆

15. 如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径 $O A$ 的长是 $5 m$ ，净高 $C D$ 为 $8 m$ ，则此路面 $A B$ 宽为（） $m$ ．

A、7 B、8 C、9 D、10

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16. 如图，量角器的直径与直角三角板 $A B C$ 的斜边 $A C$ 重合，其中量角器0刻度线的端点P与点C重合，射线 $B D$ 从 $B C$ 处出发绕点B沿逆时针方向以每秒2度的速度旋转， $B D$ 与量角器的半圆弧交于点E ，第13秒时，点E在量角器上对应的读数是度．

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17. 人们根据实际需要，发明了“三分角器”，图1是它的示意图，其中 $A B$ 与半圆 $O$ 的直径 $B C$ 在同一直线上，且 $A B$ 的长度与半圆的半径相等； $D B$ 与 $A C$ 垂直于点 $B ， D B$ 足够长．
使用方法如图2所示，要将 $∠ M E N$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $D B$ 经过 $∠ M E N$ 的顶点 $E$ ，点 $A$ 落在边 $E M$ 上，半圆与另一边 $E N$ 恰好相切时，切点为 $F$ ，则有 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ．
若 $∠ M E N = 90 °$ ，半圆 $O$ 的半径为2， $E O$ 与半圆交于点 $T$ ，求 $\overset{⌢}{T F C}$ 的长．

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18. 如图 $1$ 是一款利用曲边三角形制造的扫地机 $.$ 如图 $2$ 是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形 $A B C$ ，分别以点 $A$ ， $B$ ， $C$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径作 $\overset{⏜}{B C}$ ， $\overset{⏜}{A C}$ ， $\overset{⏜}{A B}$ ，三段弧所围成的图形就是曲边三角形 $.$ 若这个曲边三角形的周长为 $30 π c m$ ，求它的面积 $($ 结果保留 $π)$ ．

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五、概率初步

19. 物理某一实验的电路图如图所示，其中K₁ ， K₂ ， K₃为电路开关，L₁ ， L₂为能正常发光的灯泡．任意闭合开关K₁ ， K₂ ， K₃中的两个，那么能让两盏灯泡同时发光的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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20. 有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（）

A、不可能 B、不太可能 C、非常有可能 D、一定可以

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21. 某班的一个数学兴趣小组为了考察某条斑马线前驾驶员礼让行人的情况，每天利用放学时间进行调查，下表是该小组一个月内累计调查的结果，由此结果可估计驾驶员在这条斑马线前能主动给行人让路的概率约是（结果保留小数点后一位）．
排查车辆数 $n$
20
40
100
200
400
1000
能礼让的车辆数 $m$
15
32
82
158
324
800
能礼让的频率 $\frac{m}{n}$
$0.75$
$0.80$
$0.82$
$0.79$
$0.81$
$0.80$

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22. 在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味.如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化，现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上.

(1)、从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为；

(2)、从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率。

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23. 嫦娥、神舟、北斗、天问被称为中国航天的“四大天王”.2020年“北斗”组网、“天问”问天、“嫦五”探月，一个个好消息从太空传来，照亮了中国航天界的未来！小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了嫦娥五号、神舟十一号、北斗三号、天问一号的模型图，依次制成编号为A、B、C、D四张卡片（背面完全同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

(1)、小玲从中随机抽取一张卡片是“北斗三号”的概率是；

(2)、小玲从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（嫦娥五号）和D（天问一号）的概率．

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24. 生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
$N = 40 \div \frac{16}{80} = 200$ （只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄
A
B
C
D
……
个体数量
92
187
x
y
……
注：表中“ $A$ ”表示鱼的年龄 $0 - 1$ 年， $B$ 表示年龄 $2 - 3$ 年， $C$ 表示年龄 $4 - 5$ 年， $D$ 表示年龄为 $6 - 7$ 年．

(1)、年龄为 $A$ ， $B$ ， $C$ 的个体数量的平均数为125，年龄在 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的个体数量的中位数是95，则 $x =$ ， $y =$ （其中 $92 < y < 96$ ）．

(2)、若将年龄为 $D$ 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？

(3)、现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是 $A$ 和 $C$ 年龄的鱼的概率．

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	售价（元/盆）	日销售量（盆）
A	20	50
B	30	30
C	18	54
D	22	46
E	26	38

售价（元/盆）	____	____	____	____	____
日销售量（盆）	____	____	____	____	____

排查车辆数 $n$	20	40	100	200	400	1000
能礼让的车辆数 $m$	15	32	82	158	324	800
能礼让的频率 $\frac{m}{n}$	$0.75$	$0.80$	$0.82$	$0.79$	$0.81$	$0.80$

		$s / m$	0	9	12	15	18	21	…
图1	图2	$h / m$	0	4.2	4.8	5	4.8	4.2	…

年龄	A	B	C	D	……
个体数量	92	187	x	y	……