综合与探究题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

试卷更新日期：2025-01-04 类型：复习试卷

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一、精选综合探究题

1. 生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：
$N = 40 \div \frac{16}{80} = 200$ （只）．
某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：
年龄
A
B
C
D
……
个体数量
92
187
x
y
……
注：表中“ $A$ ”表示鱼的年龄 $0 - 1$ 年， $B$ 表示年龄 $2 - 3$ 年， $C$ 表示年龄 $4 - 5$ 年， $D$ 表示年龄为 $6 - 7$ 年．

(1)、年龄为 $A$ ， $B$ ， $C$ 的个体数量的平均数为125，年龄在 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的个体数量的中位数是95，则 $x =$ ， $y =$ （其中 $92 < y < 96$ ）．

(2)、若将年龄为 $D$ 的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？

(3)、现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是 $A$ 和 $C$ 年龄的鱼的概率．

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2. 综合探究
如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，在 $A C$ 下方作 $∠ C A E = ∠ C A D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A E$ ，垂足为点 $E$ ．

(1)、求证： $△ A C E$ ≌ $△ A C D$ ；

(2)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $A B = 8$ ， $A F = 3$ ，求 $B D$ 的长．

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3. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC ，将三角板ABC绕点A顺时针方向转，旋转角度为 $α (0 ° < α < 45 °)$ ，得到 $△ A B C^{'}$ ．

(1)、【数学思考】老师问：当 $α$ 为多少度时， $A B ∥ D C$ ？（请写出证明过程）；

(2)、【深入探究】老师继续旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：当旋转到图③所示位置时， $α$ 为_▲_度．直接写出结果；
②“智慧小组”提出问题：连接BD ，当 $0 ° < α < 45 °$ 时，探求 $∠ D B C^{'} + ∠ C A C^{'} + ∠ B D C$ 值的大小变化情况，并给出你的证明．请你解答此问题．

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4. 综合与探究
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，连接 $A B$ ， $P (m ， n)$ 为抛物线 $A B$ 部分上一动点（可与A ， B两点重合），过点P作 $P N ⊥ x$ 轴交直线 $A B$ 于点M ，交x轴于点N ．

(1)、求抛物线和直线 $A B$ 的解析式．

(2)、①求线段 $P M$ 的最大值．
②连接 $O M$ ，当 $△ O B M$ 为等腰三角形时，求m的值．

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5. 综合运用
已知：抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ .
图1 图2 备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1：抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线对称轴上找点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $P$ 的坐标；（不需要证明）

(3)、如图2：点 $F$ 在对称轴上，以点 $F$ 为圆心过 $A$ 、 $B$ 两点的圆与直线 $C E$ 相切，求点 $F$ 的坐标.

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6. 综合应用
如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为 $O A$ 上一动点 $($ 点 $P$ 不与点 $A$ ， $O$ 重合 $)$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $C$ 的坐标： $A$ ， $C$ ；

(2)、如图 $1$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x$ 轴，交线段 $A C$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ，当 $P M = M N$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、如图 $2$ ，连接 $P C$ ，将线段 $P C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P D$ ，当点 $D$ 在抛物线上时，求点 $D$ 的坐标．

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7. 综合探究
如图，平行四边形ABCD中，AC＝BC，过A、B、C三点的⊙O与AD相交于点E，连接CE.

(1)、求证：AB＝CE；

(2)、求证：DC与⊙O相切；

(3)、若⊙O半径r＝5，AB＝8，求AE的值.

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8. 综合应用：如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C是 $⊙ O$ 上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D ，直线DC与AB的延长线相交于点P ， G是 $△ A C B$ 的内心，连接CG并延长，交 $⊙ O$ 于点E ，交AB于点F ，连接BE ．

(1)、求证：AC平分 $∠ D A B$ ；

(2)、连接BG ，判断 $△ E B G$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，求线段EC的长．

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9. 综合探究：如图，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设M点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？

(3)、试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)、在（2）的条件下，直PM上有一动点R ，连接RO ，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．

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10. 综合运用
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 6$ 与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.

(1)、求抛物线的函数表达式.

(2)、点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l ，交线段AC于点D ．
①试探究：在直线l上是否存在点E ，使得以点D ， C ， B ， E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M ，与直线AC交于点N ．当S_△_DMN＝S_△_AOC时，请直接写出DM的长.

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二、最新综合探究题

11. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $C E$ 和 $D F$ 组成，立柱高为 $1 m$ ，顶棚最高点距离地面 $E F$ 是 $4 m$ ， $E F$ 的长为 $20 m$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $E F$ 的中点 $O$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $O A$ ，从喷水口 $A$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $y = - 0.2 x^{2}$ 的图象相同， $O A = 3 m$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $D$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $O A$ 处喷出的水流在距离 $O$ 点水平距离为多少米时达到最高．

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12. 拓展探究
问题情境：“a²≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，然后利用平方的非负性解决问题，例如：x²+4x+5＝x²+4x+4+1＝（x+2）²+1，∵（x+2）²≥0，
∴（x+2）²+1≥1，∴x²+4x+5≥1．
（1）探究：x²﹣4x+5＝（x ）²+ ；
（2）应用：比较代数式：x²﹣1与2x﹣3的大小；
（3）拓展：求x²﹣4x+y²+2y+7的最小值．

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13. 综合与实践
主题：建立二次函数模型解决数字乘积问题．

(1)、数学活动：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），通过计算可得出其中积最大的算式是___________．
$91 \times 99$ ， $92 \times 98$ ， …， $98 \times 92$ ， $99 \times 91$ ．

(2)、阅读材料：对于以上问题从二次函数角度有如下解题思路．
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为 $(10 - x)$ ，求出y与x的函数关系式，并求出上述算式中的最大算式；

(3)、问题解决：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是9，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个算式的积最大，并用函数的观点说明理由；
$901 \times 999$ ， $902 \times 998$ ， …， $998 \times 902$ ， $999 \times 901$ ．

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14. 课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：

(1)、方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．
若 $∠ A C B = 90 °$ ，设 $A C = x$ 厘米，该水槽的横截面面积为 $y$ 厘米 $^{2}$ ，请你写出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式(不必写出 $x$ 的取值范围)，并求出当 $x$ 取何值时， $y$ 的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．
若 $∠ A B C = 120 °$ ，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的 $y$ 的最大值比较大小．

(2)、假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？

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15. 综合与实践
【问题情景】：学校综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】：

(1)、若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图中的______经过折叠能围成无盖正方体纸盒：

A、 B、 C、 D、

(2)、如图1，是小云的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是______；

(3)、如图2，有一张边长为30cm的正方形废弃宣传单，张乐准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕；
②若要折成的无盖长方体纸盒底面积为 $484 {cm}^{2}$ ，求将要剪去的正方形的边长．

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16. 综合与探究
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 经过点A(-2，0)，B(4，0)两点，与 $y$ 轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为 $m (1 < m < 4)$ .连接AC，BC，DB，DC，
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的 $\frac{3}{4}$ 时，求 $m$ 的值；
(3)在(2)的条件下，若点M是 $x$ 轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

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17. 【问题背景】
如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交x轴于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，连接 $A C ， B C$ ．点M为线段 $O B$ 上的一个动点，过点M作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点P，交 $B C$ 于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
【构建联系】
（2）过点P作 $P N ⊥ B C$ ，垂足为点N，设M点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，
①请用含m的代数式表示线段 $P N$ 的长；
②连接 $P B ， P C$ 求出当m为何值时，四边形 $A B P C$ 的面积有最大值，最大值是多少？
【深入探究】
（3）若点G是对称轴上一动点，将线段 $G A$ 绕点G顺时针旋转 $90 °$ ，当点A的对应点为 $A^{'}$ 刚好落在抛物线上时，求出点G的坐标．

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18.

(1)、问题提出：
如图1，在四边形ABCD中， $A B = A D, ∠ B A D = ∠ B C D = 9 0^{°}$ .连接AC、BD，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A D E$ ，已知点C、D、E在一条直线上，则 $△ A C E$ 为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；

(2)、探究发现：
如图2，在 $⊙ O$ 中，AB为直径，点 $C$ 为半圆AB的中点，点 $D$ 为弧AC上一点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且 $A D < B D$ ，请求出CD、AD、BD间的数量关系；

(3)、拓展延伸：
如图3，在等腰直角三角形ABC中，点 $P$ 为AB的中点，若 $A C = 13$ ，平面内存在点 $E$ ，且 $A E = 10, C E =$ 13，当点 $Q$ 为AE中点时，直接写出PQ的长度.

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19. 阅读：如图1，点A是 $⊙ O$ 外一点，点P是 $⊙ O$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的半径为3， $O A$ 长度为5，则根据： $P A \geq O A - O P$ ，得到点P到点A的最短距离为： $5 - 3 = 2$ ．
解决问题：

(1)、如图2，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 $B C 、 C D$ 方向向终点C和D运动，连接 $A M$ 和 $B N$ 交于点P ．
①证明： $△ A B M ≌ △ B C N$ ．
②求点P到点C的最短距离．

(2)、如图3，在平面直角坐标系中，等边 $△ O A B$ 的边 $O B$ 在x轴正半轴上，点 $A (3 ， m)$ ， $m > 0$ ，点D从B点出发，沿 $B O$ 运动到O ，点E同时从O点以相同的速度出发，沿 $O A$ 运动到A ，连接 $A D 、 B E$ ，交点为F ， M是y轴上一点，求 $F M$ 的最小值．

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年龄	A	B	C	D	……
个体数量	92	187	x	y	……