《二次函数》精选压轴题—广东省（人教版）数学九（上）期末复习

试卷更新日期：2025-01-04 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3 m - 1$ 的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} \leq m < \frac{5}{3}$ B、 $\frac{1}{3} < m \leq 1$ C、 $1 < m \leq \frac{5}{3}$ D、 $m > 1$

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2. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 经过等腰直角三角形的两个顶点 $A$ ， $B$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，则 $a c$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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3. 如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b²＜8a
④ $\frac{1}{3}$ ＜a＜ $\frac{2}{3}$
⑤b＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（　　）

A、①③ B、①③④ C、②④⑤ D、①③④⑤

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4. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，且 $a + b + c = - 1$ ， $a - b + c = - 3$ ．判断下列结论：
①抛物线与x轴负半轴必有一个交点；② $b = 1$ ；③ $a b c > 0$ ；④ $2 a + 2 b + c < 0$ ；⑤当 $0 ≤ x ≤ 2$ 时， $y_{最大} = 3 a$ ，其中正确的是（）

A、①③⑤ B、①②⑤ C、②③⑤ D、①②③④⑤

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5. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标满足下表∶
x
…
$- 1$
0
1
2
3
4
…
y
…
8
3
0
$- 1$
m
3
…
下列说法中：①该二次函数的对称轴为直线 $x = 2$ ；② $a < 0$ ；③不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $1 < x < 3$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c = 8 (a \neq 0)$ 有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知点 $P (m ， n)$ ， $Q (3 ， 0)$ 都在一次函数 $y = k x + b$ （ $k$ ， $b$ 是常数， $k \neq 0$ ）的图象上，（）

A、若 $m n$ 有最大值4，则 $k$ 的值为 $- 9$ B、若 $m n$ 有最小值4，则 $k$ 的值为 $- 9$ C、若 $m n$ 有最大值 $- 9$ ，则 $k$ 的值为4 D、若 $m n$ 有最小值 $- 9$ ，则 $k$ 的值为4

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7. 如图，抛物线 $y = x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ 与直线 $y = x - 2$ 交于A、B两点 $($ 点A在点B的左侧 $)$ ，动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x轴上的某点F ，最后运动到点 $B .$ 若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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8. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）中的 $x$ 与 $y$ 的部分对应值，如表格给出了以下结论：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
$\dots$
$y$
$\dots$
5
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
0
5
$\dots$
①二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 有最小值，最小值为 $- 3$ ；
②当 $- \frac{1}{2} < x < 2$ 时， $y < 0$ ；
③二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴有两个交点，且它们分别在 $y$ 轴的两侧；
④当 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小.则其中正确结论有（）.

A、②④ B、③④ C、②③④ D、①②③④

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(4, 0)$ ，抛物线的对称轴是直线 $x = 1$ ．下列结论中：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；④若点 $A (m, n)$ 在该抛物线上，则 $a m^{2} + b m \leq a + b$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （a ， b ， c是常数， $c < 0$ ）经过 $(1 ， 1)$ ， $(m ， 0)$ ， $(n ， 0)$ 三点，且 $n \geq 3$ ．在下列四个结论中：① $a + b + c > 0$ ；② $4 a c - b^{2} < 4 a$ ；③当 $n = 3$ 时，若点 $(2 ， t)$ 在该抛物线上，则 $t < 1$ ；④若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = x$ 有两个相等的实数根，则 $0 < m \leq \frac{1}{3}$ ；其正确结论的序号是（）．

A、②③④ B、①②④ C、①②③ D、①③④

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二、填空题

11. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向上，经过点 $(- 1 ， 3)$ 和 $(1 ， 0)$ 且与y轴交于负半轴．则下列结论：① $a + b + c = 0$ ， ② $a b c < 0$ ；③ $2 a + b < 0$ ；④ $a + c = \frac{3}{2}$ ；其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D$ 平分圆周角 $∠ A C B$ ，则下列结论：
① $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ② $△ A B D$ 是等腰直角三角形③ $C A + C B = \sqrt{3} C D$ ④ $S_{四边形 A D B C} = \frac{1}{2} C D^{2}$
正确的有．

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三、解答题

13. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 关于 $y$ 轴对称，与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $A$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，抛物线还经过点 $(- 3 ， 8)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知点 $C$ 在 $y$ 轴上，在抛物线上是否存在点 $D$ ，使以 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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14. 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的．正常水位时，大孔水面宽度 $A B$ 为 $30 m$ ，大孔顶点P距水面 $10 m$ （即 $P O = 10 m$ ），小孔水面宽度 $B C$ 为 $12 m$ ，小孔顶点Q距水面 $6 m$ （即 $Q D = 6 m$ ），建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求大孔抛物线的解析式；

(2)、现有一艘船高度是 $6 m$ ，宽度是 $18 m$ ，这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？并说明理由．

(3)、当水位上涨 $4 m$ 时，求小孔的水面宽度 $E F$ ．

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15. 如图，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，其中 $O B = 4$ ， $∠ B C O = 30 °$ ，抛物线 $y = a x^{2} + 3 \sqrt{3} x + c$ 经过 $B$ ， $C$ 两点，并与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $E$ 在线段 $A B$ 上以每秒 $1$ 个单位长度的速度从 $A$ 向 $B$ 运动，同时点 $F$ 在线段 $B C$ 上以每秒 $2$ 个单位长度的速度从 $B$ 向 $C$ 运动 $.$ 当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动 $.$ 设运动时间为 $t$ 秒，求 $t$ 为何值时， $△ B E F$ 的面积最大？并求出最大值；

(3)、是否存在某个时间 $t$ ，使得以 $E F$ 为直径的圆与 $△ O B C$ 的边 $O B$ 或 $B C$ 相切？若存在，求出 $t$ ；若不存在，请说明理由．

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16. 综合应用
如图，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为 $O A$ 上一动点 $($ 点 $P$ 不与点 $A$ ， $O$ 重合 $)$ ．

(1)、直接写出点 $A$ ， $C$ 的坐标： $A$ ， $C$ ；

(2)、如图 $1$ ，过点 $P$ 作 $P N ⊥ x$ 轴，交线段 $A C$ 于点 $M$ ，交抛物线于点 $N$ ，当 $P M = M N$ 时，求 $△ A M N$ 的面积；

(3)、如图 $2$ ，连接 $P C$ ，将线段 $P C$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P D$ ，当点 $D$ 在抛物线上时，求点 $D$ 的坐标．

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17. 综合探究：如图，抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 交x轴于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接AC ， BC ． M为线段OB上的一个动点，过点M作 $P M ⊥ x$ 轴，交抛物线于点P ，交BC于点Q ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、设M点的坐标为 $M (m ， 0)$ ，请用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出当m为何值时，PQ有最大值，最大值是多少？

(3)、试探究点M在动过中，是否存在这样的点Q ，使得以A ， C ， Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

(4)、在（2）的条件下，直PM上有一动点R ，连接RO ，将线段RO绕点R逆时针旋转90度，使点O的对应点T恰好落在该抛物线上，求出点R的坐标．

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18. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 与x轴交于 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，交y轴于点C ，点P是线段 $B C$ 下方抛物线上一动点，过点P作 $P Q ∥ A C$ 交 $B C$ 于点Q ，连接 $A Q$ ， $O Q$ ， $P A$ ， $P B$ 。

(1)、求抛物线的函数解析式；

(2)、求 $△ A O Q$ 周长的最小值；

(3)、假设 $△ P A Q$ 与 $△ P B Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，且 $S = S_{1} + S_{2}$ ，求S的最大值。

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19. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.直线 $y = x + 3$ 与抛物线交于点B与点C.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点D是第一象限抛物线上一点，设D点横坐标为m.连接OD ，将线段OD绕O点逆时针旋转90°，得到线段OE ，过点E作 $E F / / x$ 轴交直线BC于F ，求线段EF的最大值；

(3)、如图3，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，与原抛物线在x轴下方部分的图象组成新图象，若直线 $y = 5 x + n$ 与新图象有且只有两个交点，请你直接写出n的取值范围.

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于坐标原点 $O$ 和点 $A$ ．

(1)、已知该抛物线的顶点 $P$ 的纵坐标与点 $A$ 的横坐标相同，设过点 $A$ 的直线 $y = m x - 6$ 与抛物线的另一个交点为 $B$ ．求点 $P$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、将线段 $O A$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到线段 $O C$ ，若该抛物线与线段 $O C$ 只有一个交点，请直接写出 $a$ 的取值范围；

(3)、若直线 $y = k x - 6 (k \neq 3)$ 与该抛物线交于 $M ， N$ 两点（点 $M$ 在点 $N$ 左侧），连接 $A M ， A N$ ．设直线 $A M$ 为 $y_{1} = k_{1} x + m_{1}$ ，直线 $A N$ 为 $y_{2} = k_{2} x + m_{2}$ ；令 $t = k_{1} \cdot k_{2}$ ，求 $t$ 与 $a$ 的函数关系式．

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21. 阅读：如图1，点A是 $⊙ O$ 外一点，点P是 $⊙ O$ 上一动点．若 $⊙ O$ 的半径为3， $O A$ 长度为5，则根据： $P A \geq O A - O P$ ，得到点P到点A的最短距离为： $5 - 3 = 2$ ．
解决问题：

(1)、如图2，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边 $B C 、 C D$ 方向向终点C和D运动，连接 $A M$ 和 $B N$ 交于点P ．
①证明： $△ A B M ≌ △ B C N$ ．
②求点P到点C的最短距离．

(2)、如图3，在平面直角坐标系中，等边 $△ O A B$ 的边 $O B$ 在x轴正半轴上，点 $A (3 ， m)$ ， $m > 0$ ，点D从B点出发，沿 $B O$ 运动到O ，点E同时从O点以相同的速度出发，沿 $O A$ 运动到A ，连接 $A D 、 B E$ ，交点为F ， M是y轴上一点，求 $F M$ 的最小值．

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22. 蔬菜大棚是一种具有出色保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线的一部分 $A E D$ 构成（以下简记为“抛物线 $A E D$ ”），其中 $A B = 4 m$ ， $B C = 6 m$ ，现取 $B C$ 中点O ，过点O作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点E ， $O E = 7 m$ ，若以O点为原点， $B C$ 所在直线为x轴， $O E$ 为y轴建立如图①所示平面直角坐标系．请结合图形解答下列问题：

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图②，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，其中L ， R在抛物线 $A E D$ 上，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图③，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，大棚截面的阴影为 $B K$ ，此刻，过点K的太阳光线所在的直线与抛物线 $A E D$ 交于点P ，求线段 $P K$ 的长．

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23. 综合运用
已知：抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $E$ .
图1 图2 备用图

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1：抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线对称轴上找点 $P$ ，使 $△ P C D$ 是以 $C D$ 为腰的等腰三角形，请直接写出点 $P$ 的坐标；（不需要证明）

(3)、如图2：点 $F$ 在对称轴上，以点 $F$ 为圆心过 $A$ 、 $B$ 两点的圆与直线 $C E$ 相切，求点 $F$ 的坐标.

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	$\dots$
$y$	$\dots$	5	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	5	$\dots$

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	…
y	…	8	3	0	$- 1$	m	3	…