新定义型—浙教版数学九（上）期末复习

试卷更新日期：2025-01-04 类型：复习试卷

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一、二次函数

1. 已知 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 均是以 $x$ 为自变量的函数， $a$ 为实数.当 $x = m$ 时，函数值分别为 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ ，若存在实数 $m$ ，使得 $M_{1} = M_{2}$ .则称 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 为友好函数，以下 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不一定是友好函数的是（）

A、 $y_{1} = x^{2} + 2 x$ 和 $y_{2} = 3 x + 1$ B、 $y_{1} = x^{2} + a - \frac{1}{2}$ 和 $y_{2} = - a x + \frac{a}{4}$ C、 $y_{1} = - \frac{2}{x}$ 和 $y_{2} = x - 3$ D、 $y_{1} = \frac{a + 2}{x}$ 和 $y_{2} = x + a$

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2. 定义平面内任意两点P(x₁ ， y₁)、Q(x₂ ， y₂)之间的距离d_PQ=|x₂-x₁|+|y₂-y₁|称为这两点间的曼哈顿距离(简称为曼距)．例如，在平面直角坐标系中，点P(-3，-2)与点Q(2，2)之间的曼距d_PQ=|-3-2|+|-2-2|=5+4=9，若点A在直线y= $\frac{1}{2}$ x-2上，点B为抛物线y=x²+2x上一点，则曼距d_AB的最小值（）

A、 $\frac{23 \sqrt{5}}{40}$ B、 $\frac{69}{40}$ C、 $\frac{23}{16}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点 $P$ 为“美丽点”．例如：点 $(1, - 1)$ ， $(- 2, 2)$ ， $(\sqrt{3}, - \sqrt{3})$ ， …都是“美丽点”．若二次函数 $y = a x^{2} + 3 x + 1$ （ $a \neq 0$ ）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当 $- 2 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = (a - 1) x^{2} + 3 x + 1$ （ $a \neq 0$ ）的最小值为 $\frac{1}{4}$ ，最大值为 $7$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - \frac{1}{2}$ B、 $m \geq - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1$ D、 $- \frac{1}{2} < m < 1$

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4. 在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax²－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是．

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5. 定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点 $(1, 1)$ 是函数 $y = - 2 x + 3$ 的不动点．已知二次函数 $y = x^{2} + 2 (b + 2) x + b^{2}$ （ $b$ 是实数）．

(1)、若点 $(- 1, - 1)$ 是该二次函数的一个不动点，求 $b$ 的值；

(2)、若该二次函数始终存在不动点，求 $b$ 的取值范围．

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6. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $A (x, y)$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $y - x$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 $A (1, 3)$ 在函数 $y = 2 x + 1$ 图象上．点 $A (1, 3)$ 的“纵横值”为 $y - x = 3 - 1 = 2$ ；函数 $y = 2 x + 1$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $y - x = 2 x + 1 - x = x + 1$ ，当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $x + 1$ 的最大值为 $6 + 1 = 7$ ，所以函数 $y = 2 x + 1 (3 \leq x \leq 6)$ 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：

(1)、①点 $B (- 6, 2)$ 的“纵横值”为；
②求出函数 $y = \frac{4}{x} + x (2 \leq x \leq 4)$ 的“最优纵横值”；

(2)、若二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，且最优纵横值为5，求c的值；

(3)、若二次函数 $y = - x^{2} + (2 b + 1) x - b^{2} + 3$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．

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7. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点 $A (x, y)$ 是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“ $y - x$ ”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
【举例】已知点 $A (1, 3)$ 在函数 $y = 2 x + 1$ 图象上．点 $A (1, 3)$ 的“纵横值”为 $y - x = 3 - 1 = 2$ ；函数 $y = 2 x + 1$ 图象上所有点的“纵横值”可以表示为 $y - x = 2 x + 1 - x = x + 1$ ，当 $3 \leq x \leq 6$ 时， $x + 1$ 的最大值为 $6 + 1 = 7$ ，所以函数 $y = 2 x + 1 (3 \leq x \leq 6)$ 的“最优纵横值”为7．
【问题】根据定义，解答下列问题：

(1)、①点 $B (- 6, 2)$ 的“纵横值”为；
②求出函数 $y = \frac{4}{x} + x (2 \leq x \leq 4)$ 的“最优纵横值”；

(2)、若二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的顶点在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，且最优纵横值为5，求c的值；

(3)、若二次函数 $y = - x^{2} + (2 b + 1) x - b^{2} + 3$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值．

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8. 若定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数” $y = x + 1$ ，其“明德点”为 $(1 ， 2)$ .

(1)、①判断：函数 $y = 2 x + 3$ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数 $y = x^{2}$ 的图像上的明德点是；

(2)、若抛物线 $y = (m - 1) x^{2} + m x + \frac{1}{4} m$ 上有两个“明德点”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = x^{2} + (m - k + 2) x + \frac{n}{4} - \frac{1}{2} k$ 的图象上存在唯一的一个“明德点”，且当 $- 1 \leq m \leq 3$ 时， $n$ 的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值.

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9. 对于函数定义变换：当y≥0时，函数值不变；当y＜0时，函数值变为原来的相反数，我们把这种变换称为函数的“关联变换”，变换后的函数称为原函数的“关联函数”，“关联函数”与x轴的交点叫做“转折点”．
如：一次函数y＝x－1，关联函数为 $y = {\begin{array}{l} x - 1 (x \geq 1) \\ - x + 1 (x < 1) \end{array}}$ ，这个关联函数的转折点是(1，0)．

(1)、已知一次函数y＝2x－3，请直接写出它的“关联函数”的解析式和转折点．

(2)、已知二次函数y＝x²－2x－3，点(a ， 4)在它的“关联函数”的图象上，求a的值．

(3)、在平面直角坐标系内，有点M(－1，1)、N(3，1)，请直接写出a的取值范围是多少时，二次函数y＝x²－2x＋a的关联函数与线段MN恰有两个公共点．

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二、圆

10. 定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．

(1)、如图1，点C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点， $∠ D A B$ 是 $\overset{⌢}{B D}$ 所对的圆周角， $A D ＞ A B$ ，连结 $A C 、 D C 、 C B$ ，试说明 $△ A C B$ 与 $△ A C D$ 是偏等三角形．

(2)、如图2， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是偏等三角形，其中 $∠ A = ∠ D ， A C = D F ， B C = E F$ ，则 $∠ B + ∠ E =$ 　　.请填写结论，并说明理由．

(3)、如图3， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C = 4 ， ∠ A = 30 ° ， ∠ B = 105 °$ ，若点D在 $⊙ O$ 上，且 $△ A D C$ 与 $△ A B C$ 是偏等三角形， $A D ＞ C D$ ，求 $A D$ 的值．

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11. 如图1， $C$ ， $D$ 是半圆 $A C B$ 上的两点，点 $P$ 是直径 $A B$ 上一点，且满足 $∠ A P C = ∠ B P D$ ，则称 $∠ C P D$ 是 $C D$ 的“相望角”，如图，

(1)、如图2，若弦 $C E ⊥ A B$ ， $D$ 是弧 $B C$ 上的一点，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连接 $C P$ .求证： $∠ C P D$ 是 $C D$ 的“相望角”；

(2)、如图3，若直径 $A B = 6$ ，弦 $C E ⊥ A B$ ， $C D$ 的“相望角”为 $9 0^{∘}$ ，求 $C D$ 的长.

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12. 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．

(1)、如图1，若四边形 $A B C D$ 是圆美四边形，求美角 $∠ A$ 的度数．

(2)、在（1）的条件下，若 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ．
①则 $B D$ 的长是______．
②如图2，在四边形 $A B C D$ 中，若 $C A$ 平分 $∠ B C D$ ，求证： $B C + C D = A C$ ．

(3)、在（1）的条件下，如图 $3$ ，若 $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，请用等式表示线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系，并说明理由．

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13. 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”．

(1)、如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”吗？请说明理由；

(2)、设 $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为α，请用含α的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”度数；

(3)、如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5， $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”为90°，当 $D E = \frac{7}{2} \sqrt{2}$ 时，求CE的长．

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14. 定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．

(1)、如图1，AB是⊙O的一条弦（非直径），若在⊙O上找一点C，使得△ABC是“圆等三角形”，则这样的点C能找到个．

(2)、如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结对角线BD，△ABD和△BCD均为“圆等三角形”，且AB=AD．
①当∠A=130°时，求∠BDC度数．
②如图3，当∠A=120°，AB=2时，求阴影部分的面积．

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三、相似三角形

15. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E ，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F ，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG ，称其为黄金矩形．若CF＝4a ，则AB＝（　　）

A、（ $\sqrt{5}$ ﹣1）a B、（2 $\sqrt{5}$ ﹣2）a C、（ $\sqrt{5}$ +1）a D、（2 $\sqrt{5}$ +2）a

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16. 综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $P$ 将线段AB分成两部分 $(A P > B P)$ ，若 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则称点 $P$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

(1)、【初步感知】
如图1，若 $A B = 1$ ，求临金比 $\frac{A P}{A B}$ 的值.

(2)、【类比探究】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点，AD将 $△ A B C$ 分割成两个三角形（ $S_{△ A D D} > S_{△ A C D}$ ），若 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}}$ ，则称AD为 $△ A B C$ 的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

(3)、【拓展应用】
如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $F$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $△ A B C$ 的黄金分割线吗?并说明理由.

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17. 【问题提出】如图1， $△ A B C$ 中，线段 $D E$ 的端点 $D ， E$ 分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上，若位于 $D E$ 上方的两条线段 $A D$ 和 $A E$ 之积等于 $D E$ 下方的两条线段 $B D$ 和 $C E$ 之积，即 $A D \times A E = B D \times C E$ ，则称 $D E$ 是 $△ A B C$ 的“友好分割”线段.

(1)、如图1，若 $D E$ 是 $△ A B C$ 的“友好分割”线段，，求 $A C$ 的长；

(2)、【发现证明】如图2， $△ A B C$ 中，点F在 $B C$ 边上， $F D ∥ A C$ 交 $A B$ 于D， $F E ∥ A B$ 交 $A C$ 于E，连结 $D E$ ，求证： $D E$ 是 $△ A B C$ 的“友好分割”线段；

(3)、【综合运用】如图3， $D E$ 是 $△ A B C$ 的“友好分割”线段，连结 $D E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于F，过点A 画 $A G ∥ D E$ 交 $△ A D E$ 的外接圆于点G，连结 $G E$ ，设 $\frac{A D}{D B} = x ， \frac{F C}{F B} = y$ .
①求y关于x的函数表达式；

②连结 $B G ， C G$ ，当 $y = \frac{9}{16}$ 时，求 $\frac{B G}{C G}$ 的值.

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18. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“师梅四边形”，这条对角线称为“师梅线”.我们熟知的平行四边形就是“师梅四边形”.

(1)、如图1， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B D = 4 \sqrt{2}$ ， $B C = 10$ .四边形 $A B C D$ 是被 $B D$ 分割成的“师梅四边形”，求 $A B$ 长；

(2)、如图2，平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的点，且 $O A = 3$ ， $O B = 2$ ，若点C是直线 $y = x$ 在第一象限上的一点，且 $O C$ 是四边形 $O A C B$ 的“师梅线”，求四边形 $O A C B$ 的面积.

(3)、如图3，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 6 0^{°}$ 点E是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A F$ ， $∠ D A F = 3 0^{°}$ ， ①求证：四边形 $A B C F$ 是“师梅四边形”；②若 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ，求线段 $B F$ 的长.

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