情境型—广东省（北师版）八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 经历了三年疫情，2023年12月3日，终于迎来了全新的深圳市马拉松比赛，总参赛规模为20000人，共来自37个国家和地区．某国家一共有50名男运动员来深圳参加比赛，住在福田区某酒店，租住了该酒店若干间房，且刚好住满，该酒店有三人间和两人间两种客房，三人间每天450元，两人间每天360元，一天共需要住宿费7920元，两种客房各租住了几间？设租住了 $x$ 间三人间， $y$ 间两人间，下列方程组正确的是（）

A、 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 50 \\ 450 x + 360 y = 7920 \end{matrix}$ B、 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 50 \\ 450 x + 360 y = 7920 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 50 \\ 360 x + 450 y = 7920 \end{matrix}$ D、 $\{\begin{matrix} 2 x + 3 y = 50 \\ 360 x + 450 y = 7920 \end{matrix}$

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2. 如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长 $5 m$ ，高 $3 m$ 的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为 $3 m$ ，则共需购买红地毯（）

A、 $21 m^{2}$ B、 $45 m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $12 m^{2}$

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3. 某学校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面 $.$ 其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低 $.$ 根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为（）

A、 $10 %$ ， $15 %$ ， $35 %$ ， $40 %$ B、 $15 %$ ， $10 %$ ， $35 %$ ， $40 %$ C、 $15 %$ ， $10 %$ ， $40 %$ ， $35 %$ D、 $10 %$ ， $35 %$ ， $15 %$ ， $40 %$

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4. 如图，大风过境后，一根垂直于地面的大树在离地到6m处撕裂，大树顶部落在离大树底部8m处，则大树折断之前的高度是（）

A、10m B、14m C、16m D、18cm

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5. 某条公共汽车线路收支差额 $y$ 与乘客量 $x$ 的函数关系如图所示（收支差额 $=$ 车票收入 $-$ 支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变支出费用，提高车票价格；建议(Ⅱ)不改变车票价格，减少支出费用.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则下列说法正确的是：

A、①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） B、②反映了建议（Ⅰ)，④反映了建议（Ⅱ） C、①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D、②反映了建议（Ⅱ），④反映了建议（Ⅰ）

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二、填空题

6. 如图，在一棵树的10米高的 $B$ 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到 $A$ 处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶 $D$ 后直接跃到 $A$ 处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高米．

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7. 如图所示， $∠ A O B$ 的一边 $O B$ 为平面镜， $∠ A O B = 40 °$ ，一束光线（与水平线 $A O$ 平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在 $O A$ 上的点E处，则 $∠ A E D$ 的度数是．

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8. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为“指距”.研究表明，一般情况下人的身高 $y (c m)$ 与指距 $x (c m)$ 满足一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ，若人的身高为 $160 c m$ 时，指距为 $20 c m$ ；当人的身高为 $169 c m$ 时，指距为 $21 c m$ .篮球运动员姚明的身高为 $226 c m$ ，则据此估计他的指距是cm.（结果精确到 $0.1 c m$ ）

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三、作图题

9. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为 $A (- 2 ， 4)$ ， $B (1 ， 2)$ ．

(1)、根据题意，画出相应的平面直角坐标系；

(2)、分别写出C、D两颗棋子的坐标；

(3)、有一颗黑色棋子E的坐标为 $(3 ， - 1)$ ，请在图中画出黑色棋子E ．

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四、解答题

10. 潮汕牛肉火锅起源于中国潮汕地区，它既是当地人宴客的必备佳肴，更是离乡游子们寄托乡愁的食物 $.$ 潮汕牛肉火锅最大的特点就是采用新鲜食材，利用简单烹饪和极致刀功，发挥食材的鲜香本味 $.$ 按照牛的不同部位对牛肉精心分类：牛胸前的那块脂肪叫胸口膀、牛腹部上的条状肉叫肥肼、牛脊背上长长的一条肉叫吊龙、最精贵的是牛肩胛上突起的一小块肉，叫脖仁 $\dots$ 每个部位肉的口感都不相同，涮法亦各有讲究．
某日，小明买了 $2$ 份胸口膀， $3$ 份肥肼，一共花了 $196$ 元；小华买了 $4$ 份胸口膀， $1$ 份肥肼，一共花了 $192$ 元．

(1)、胸口膀和肥肼售价分别是每份多少元？

(2)、火锅店老板根据销售情况，决定购进胸口膀和肥肼共 $180$ 份，若在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利 $6$ 元，每份肥肼可盈利 $8$ 元，请问火锅店老板实际进货用了多少元？

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11. 阳光中学积极开展课后延时服务活动，提供了“有趣的生物实验，虚拟机器人竞赛，国际象棋大赛，趣味篮球训练，经典影视欣赏……”等课程供学生自由选择一个学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“ $A$ .非常满意； $B$ .比较满意； $C$ .基本满意； $D$ .不满意”四个等级绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.
图① 图②
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、该校抽样调查的学生人数为_▲_人，请补全条形统计图；

(2)、样本中，学生对课后延时服务满意情况的“中位数”所在等级为， “众数”所在等级为；（填“ $A$ ， $B$ ， $C$ 或 $D$ ”）

(3)、若该校共有学生3000人，估计全校学生对课后延时服务满意的（包含 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个等级）有多少人？

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12. 为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作 $+$ 基地 $+$ 农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元．

(1)、水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？

(2)、因为市场销量非常好，该商场决定再次购买这两种水果1000斤，总共用了5400元，那么再次购买了这两种水果各多少斤？

(3)、若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．

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13. 列出方程组解应题．小红打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”送给妈妈．已知买2支康乃馨和3支百合共需花费 $28$ 元，买3支康乃馨和2支百合共需花费 $27$ 元．

(1)、求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？

(2)、小红准备买康乃馨和百合共9支．设买这束鲜花所需费用为 $w$ 元，康乃馨有 $x$ 支，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

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14. 为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买A ， B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用160元．

(1)、求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元．

(2)、该市现需要购买A ， B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．
①求购买垃圾箱的总花费w(元)与购买A型垃圾箱的个数x之间的函数关系式；
②当购买A型垃圾箱多少个时总费用最少，最少费用是多少？

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15. 为进一步实现云端教学的增效赋能，某校对“初中生在网课期间平均每日作业完成时长”展开了调查．现从八年级随机抽取两个组，每组30名学生，分别记为甲组、乙组，对他们在网课期间平均每日作业完成时长（单位：分钟）进行了整理、描述和分析（作业完成时长用

x

表示，共分为四个等级：A：

x < 60

，

B

：

60 \leq x < 70

，

C

：

70 \leq x < 80

，

D

：

x \geq 80

），下面给出部分信息：

甲组学生的作业完成时长在 $C$ 等级中的全部数据为：70，70，70，75，75，75，75，78，78，78，78，78

乙组30名学生的作业完成时长中， $B$ ， $D$ 两等级的数据个数相同，A ， $C$ 两等级的全部数据为：55，58，

58，70，70，70，72，73，73，73，75，75，75，75，75，75，75，78．

甲、乙两组学生平均每日作业完成时长统计表

组名	平均数	中位数	众数	时长低于80分钟所占百分比
甲组	74.1	$a$	78	70%
乙组	74.1	73	$b$	$m %$

甲组学生平均每日作业完成时长条形统计图

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、填空：

a =

_▲_；

b =

_▲_；

m =

_▲_，并补全条形统计图；

(2)、根据以上数据分析，你认为从甲、乙两组的平均每日作业完成时长来看，哪个组的学习效率更高？请说明理由（写出一条理由即可）；

(3)、若该校八年级共有640名学生，请你估计八年级共有多少名学生的平均每日作业完成时长低于80分钟？

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16. 秦九韶 $(1208$ 年 $～ 1268$ 年 $)$ ，字道古，南宋著名数学家 $.$ 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家 $.$ 他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学 $.$ 他于 $1247$ 年完成的著作 $《$ 数学九章 $》$ 中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦 $-$ 秦九韶公式” $.$ 它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， $S$ 为三角形的面积，那么 $s = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．

(1)、在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ， $A B = 7$ ，请用上面的公式计算 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 9$ ， $A C = 8$ ， $B C = 7$ ， $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $D$ ，求 $C D$ 的长；

(3)、一个三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $s = p = 15$ ， $a = 10$ ，求 $b c$ 的值．

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17. “感受数学魅力，提升数学素养”，某校在其举办的数学文化节上开展了趣味数学知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名同学的成绩进行整理、描述和分析（单位：分，满分100分，90分及90分以上为优秀），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：
A： $70 \leq x < 80$ ， B： $80 \leq x < 90$ ， C： $90 \leq x \leq 100$ ．下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
学生
平均数
中位数
众数
七年级
86
85
b
八年级
86
a
88
抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $m =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；

(3)、若八年级共有500名学生参赛，估计八年级参赛学生中成绩为优秀的人数．

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18. 莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为 $0.2$ 米，立柱间距为3米．
立柱根数
1
2
3
4
5
护栏总长度（米）
$0.2$
$3.4$

$\begin{matrix} 9.8 \end{matrix}$

(1)、根据如图所示，将表格补充完整；

(2)、设有 $x$ 根立柱，护栏总长度为 $y$ 米，则 $y$ 与 $x$ 之间的关系式是．

(3)、求护栏总长度为93米时立柱的根数？

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19. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺，BE⊥OA于E），此时踏板升高离地五尺（EC=BD=5尺）求秋千绳索（0A或OB）的长度.

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20. 如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意.该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的，现向此简易“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时（即3s时），边继续匀速注入清水，杯中水边自动向外排出，一段时间后注水停止，再等水完全排尽，在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下：
时间（t/s）
1
2
3
4
5
6
7
8
水位高度（h/cm）
2
4
6
5.75
5.5

3

根据以上信息，解决下列问题：

(1)、根据表中数据绘制向杯中匀速注水时的图象；

(2)、在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为cm/s；
在自动向外排水开始后，标申水位下降的速度为cm/s；

(3)、求停止注水时t的值；

(4)、从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时cm/s.

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21. 小聪发现美宜佳超市装的是自动门，自动门上方装有一个感应器，当人体进入感应器的感应范围时，感应门就会自动打开.如图，点 $A$ 处装着一个感应器，感应器的最大感应距离恰好等于它离地的高度 $A B$ ，已知小聪的身高为1.8米，当他走到离门2.4米时（ $B C = 2.4$ 米），感应门自动打开，即 $A B = A D$ ，求感应器的离地高度 $A B$ 为多少米？

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22. 如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作 $M A$ ，如果梯子的底端 $P$ 不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作 $N B$ ．

(1)、当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角 $B$ 处，若 $M A = 1 ． 6$ 米， $A P = 1 ． 2$ 米，则甲房间的宽度 $A B$ ＝米．

(2)、当他在乙房间时，测得 $M A = 2 ． 4$ 米， $M P = 2 ． 5$ 米，且 $∠ M P N = 90 °$ ，求乙房间的宽 $A B$ ；

(3)、当他在丙房间时，测得 $M A = 2 ． 8$ 米，且 $∠ M P A = 75 °$ ， $∠ N P B = 45 °$ ．求丙房间的宽 $A B$ ．

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五、实践探究题

23. 刻漏是人类最早制造的不完全依赖天象、相对独立运行的计时仪器．刻漏以水等液体（也有少数例外，如水银或沙等）为工作物质，根据流水的量与流逝时间的对应关系，通过漏壶中的水量变化来度量时间的．我国使用刻漏的时间非常早，最早可追溯到中国历史上第一个王朝—夏朝（大约公元前2070年），约在汉武帝时期发明了浮箭漏．如图所示为单级浮箭漏示意图．某兴趣小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每1小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
1
2
3
4
箭尺读数y（厘米）
6
12
18
24
30
【探索发现】
（1）在所给的平面直角坐标系中，描出以供水时间x为横坐标，箭尺读数y为纵坐标的各点．
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
（3）供水时间达到10小时时，箭尺的读数为多少厘米？
（4）如果本次实验记录的开始时间是上午 $7 : 30$ ，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

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24. 【项目式学习】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短? （π取3）
素材1：如图1，圆柱体的高AC为12cm，底面直径BC为6cm，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物.
若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是 12+6=18cm. 将圆柱沿着AC将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径记为“路线二”，此时最短路程是____ cm；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线____（用“一”或“二”填空）.
素材2：如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6cm，高为10cm的圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的.

(1)、两种路线路程的长度如表所示（单位：cm）：
圆柱高度
沿路线一路程x
沿路线二路程y
比较x与y的大小
5
11
$\sqrt{106}$
x>y
4
10
$\sqrt{97}$
x>y
3
a
3 $\sqrt{10}$
b

(2)、填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小关系是；

(3)、经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h. 在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等?

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25. 【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的. 随之，新能源汽车电池的充电状态和行驶过程中电量的消耗成为关注的焦点。
【实验操作】
为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，八年级某综合实践小组设计两组实验
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y₁(%)与时间t(小时)的关系，数据记录如表1.
表1：电池充电状态
时间t(小时)
0.5
1
1.5
2
电量y₁(%)
25
50
75
100
实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y₂(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记录如表2.
表 2：汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)
0
80
100
140
电量y₂ (%)
100
60
50
30

(1)、任务一：由表1 可知：每隔0.5小时电池电量增加；

(2)、【建立模型】
任务二：结合表1、表2的数据，实验小组发现y₁关于t为正比例函数模型，y₂关于s为一次函数模型，请求出y₁关于t的函数表达式及y₂关于s的函数表达式；

(3)、【解决问题】
任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间?

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26. 根据以下素材，请完成任务

养成健康饮水的习惯
素材1：健康饮水知识一	1.人体每天所需水分为1500-2000毫升，如果到了再喝水身体可能已经处于缺水状态，建议大家把每天所需的水分安排在一天内喝完。 2.喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水。 3.饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险。
素材2：健康饮水知识二	科学证明，健康饮水的适宜温度大约在35℃~40C.喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状，如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况.
素材3	如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口.已知温水的温度为30℃，流速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速15mL/s.	小贴士：若接水过程中不计热量损失温度热量可以用下列公式转化：温水体积x温水温度+开水体积x开水温度=混合后体积X混合后温度.
问题解决
任务一	小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯280mL温度为35℃的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间；
任务二	如果小康同学先用水杯接了3s开水，为了身体的健康，小康同学需要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度40℃?

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立柱根数	1	2	3	4	5
护栏总长度（米）	$0.2$	$3.4$		$\begin{matrix} 9.8 \end{matrix}$

供水时间x（小时）	0	1	2	3	4
箭尺读数y（厘米）	6	12	18	24	30

圆柱高度	沿路线一路程x	沿路线二路程y	比较x与y的大小
5	11	$\sqrt{106}$	x>y
4	10	$\sqrt{97}$	x>y
3	a	3 $\sqrt{10}$	b

表1：电池充电状态
时间t(小时)	0.5	1	1.5	2
电量y₁(%)	25	50	75	100

表 2：汽车行驶过程
已行驶里程s(千米)	0	80	100	140
电量y₂ (%)	100	60	50	30

学生	平均数	中位数	众数
七年级	86	85	b
八年级	86	a	88

时间（t/s）	1	2	3	4	5	6	7	8
水位高度（h/cm）	2	4	6	5.75	5.5		3