精选压轴题—广东省（北师版）九（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AG与BD交于点O，E是BC边的中点， $E F ⊥ B D$ 于点F， $E G ⊥ A C$ 于点G，则四边形EFOG的面积为（）

A、3 B、5 C、6 D、8

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2. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 上一点（不与 $B$ ， $C$ 重合），将 $△ B E F$ 沿 $E F$ 所在的直线折叠，得到 $△ G E F$ ，连接 $A G$ ．当 $A G = E G$ 时， $\frac{A G}{E F}$ 的值是（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 如图，矩形ABCD中，AD>AB，分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E ，F. 若AB=4，BC=8，则四边形AFCE面积是A

A、20 B、16 C、12 D、24

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4. 如图，在正方形ABCD外取一点 $E$ ，连接AE、BE、DE.过点 $A$ 作AE的垂线交DE于点 $P$ .若 $A E = A P = 1 ， P B = \sqrt{5}$ .下列结论：① $△ A P D ≅ △ A E B$ ；②点 $B$ 到直线AE的距离是 $\sqrt{2}$ ；③ $E B ⊥ E D$ ；④ $S_{正方形 A B C D} = 4 + \sqrt{6}$ .其中正确的结论是（）

A、①② B、①④ C、①③④ D、①②③

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二、填空题

5. 在平面直角坐标系中，已知 $A (1 ， 0) ， B (2 ， 0) ， C (0 ， 1)$ ，在 $x$ 轴上有一点 $P$ ，它与 $A 、 C$ 两点形成的三角形与 $△ A B C$ 相似（全等除外），则 $P$ 点的坐标是.

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6. 如图，P是 $Rt △ A B C$ 的斜边 $A C$ （不与点A、C重合）上一动点，分别作 $P M ⊥ A B$ 于点M， $P N ⊥ B C$ 于点N，O是 $M N$ 的中点，若 $A B = 5$ ， $B C = 12$ ，当点P在 $A C$ 上运动时， $B O$ 的最小值是．

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7. 如图，矩形 $O A B C$ 对角线相交于点 $F$ ，沿着对角线 $A C$ 折叠，使得点 $B$ 落在点 $E$ 处，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 6) ， A F$ 长度为 $5$ ，则 $E$ 的纵坐标为．

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8. 如图， $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 3$ ， D是 $A B$ 边上的中点，将 $△ A C B$ 绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段 $C D$ 上的点E处，点B的对应点为F ，边 $E F$ 与边 $A B$ 交于点G ，则 $D G$ 的长是.

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9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（6，8），则点F的坐标是．

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三、解答题

10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝11cm，点P从点D出发向终点A运动；同时点Q从点B出发向终点C运动.当P、Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点P、Q的速度分别为1cm/s，2cm/s，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t（s）.

(1)、如图（1），当t为何值时，四边形ABQP是矩形？

(2)、如图（2），若点E为边AD上一点，当AE＝3cm时，四边形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.

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11.
【综合与探究】问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，可证 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．小慧的证明思路是：如图2，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $E$ ，构造相似三角形来证明 $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ．

(1)、尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ；

(2)、应用拓展：如图3，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， D$ 是边 $B C$ 上一点．连接 $A D$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 所在直线折叠，点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 上的 $E$ 点处．
①若 $A C = 1 ， A B = 2$ ，求 $D E$ 的长；
②若 $B C = m ， ∠ A E D = α$ ，求 $D E$ 的长（用含 $m ， α$ 的式子表示）．

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12. 过四边形 $A B C D$ 的顶点A作射线 $A M$ ， P为射线 $A M$ 上一点，连接 $D P$ ．将 $A P$ 绕点A顺时针方向旋转至 $A Q$ ，记旋转角 $∠ P A Q = α$ ，连接 $B Q$ ．

(1)、如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形 $A B C D$ 是正方形，且 $α = 90 °$ ．无论点P在何处，总有 $B Q = D P$ ，请证明这个结论．

(2)、如图2，如果四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ D A B = α = 60 °$ ， $∠ M A D = 15 °$ ，连接 $P Q$ ．当 $P Q ⊥ B Q$ ， $A B = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 时，求 $A P$ 的长；

(3)、如图3，如果四边形 $A B C D$ 是矩形， $A D = 6$ ， $A B = 8$ ， $A M$ 平分 $∠ D A C$ ， $α = 90 °$ ．在射线 $A Q$ 上截取 $A R$ ，使得 $A R = \frac{4}{3} A P$ ．当 $△ P B R$ 是直角三角形时，请直接写出 $A P$ 的长．

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13. 已知点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，以 $O A$ 为边长作正方形 $O A B C$ ，使正方形顶点 $B ， C$ 在 $x$ 轴上方， $O A$ 与 $y$ 轴的夹角为 $α$ ．

(1)、如图1，当点 $B$ 在 $y$ 轴上时，求点 $A$ 坐标；

(2)、①如图2，当 $0 ° < α < 45 °$ 时， $A B$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，若 $t a n α = \frac{1}{2}$ ，求点 $B$ 的坐标；
②如图3，当 $45 ° < α < 90 °$ 时， $B C$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ，若 $t a n α = 3$ ，求点 $B$ 的坐标．

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14. 某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形 $E F G H$ 为矩形，请你帮助他们解决下列问题：

(1)、【初步尝试】：他们将矩形 $E F G H$ 的顶点E、G分别在如图（1）所示的 $▱ A B C D$ 的边 $A D$ 、 $B C$ 上，顶点F、H恰好落在 $▱ A B C D$ 的对角线 $B D$ 上，求证： $B F = D H$ ：

(2)、【深入探究】：如图2，若 $▱ A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ，若 $A E = E D$ ，求 $\frac{S_{菱形 A B C D}}{S_{矩形 E F G H}}$ 的值；

(3)、【拓展延伸】：如图（3），若 $▱ A B C D$ 为矩形， $A D = m$ ； $A B = n$ 且 $A E = E D$ ，请直接写出此时 $\frac{S_{矩形 A B C D}}{S_{矩形 E F G H}}$ 的值是（用含有m ， n的代数式表示）.

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15. 综合应用
【问题情境】
在正方形纸片ABCD中，AB=6，点P是边AD 上的一个动点，过点P作PQ∥AB 交 BC于点Q，将正方形纸片ABCD折叠，使点C的对应点C落在线段PQ上，点B的对应点为B'，折痕所在的直线交边AB于点E、交边 CD于点F，EF与PQ交于点N.
【猜想证明】

(1)、如图，连接CN，则四边形CNC'F 是_▲_形，请说明理由.

(2)、如图，当E与B重合时，
①若AP=3，求 CF的长.
② 记AP 的长度为y，线段CF长度为x，求y与x之间的关系式，并直接写出当F是CD的三等分点时， AP 的长度.

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16. 综合运用
在矩形 $O A B C$ 中，以点 $O$ 为坐标原点，分别以 $O C ， O A$ 所在直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，点 $E$ 是射线 $O C$ 上一动点，连接 $A E$ ，过点 $O$ 作 $O F ⊥ A E$ 于点 $D$ ，交直线 $B C$ 于点 $F$ .
图① 图② 图③

(1)、如图①，当矩形 $O A B C$ 是正方形时，若点 $E$ 在线段 $O C$ 上，线段 $A E$ 与 $O F$ 的数量关系是（填“相等”或“不相等”）；

(2)、如图②，当点 $E$ 在线段 $O C$ 上，且 $O E = 2 E C$ ，以点 $F$ 为直角顶点在矩形 $O A B C$ 的外部作直角三角形 $C F H$ ，且 $F H = O E$ ，连接 $E H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，求 $\frac{S_{△ F G H}}{S_{四边形 O E G F}}$ 的值；

(3)、如图③，若点 $A (0 ， 3)$ ，点 $C (1 ， 0)$ ，点 $E$ 在线段 $O C$ 的延长线上，点 $F$ 在线段 $C B$ 的延长线上， $F H ⊥ F C ， F B ： B C = 1 ： 3$ ，连接 $O H$ ，取 $O H$ 的中点 $M$ ，连接 $D M$ ，设 $F H = n$ ， $D M^{2} = m$ ，求 $m$ 关于 $n$ 的函数关系式.

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17. 问题提出：如图1，E是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = β (β \geq 90 °)$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点G ，探究 $∠ G C F$ 与β的数量关系．
问题探究：

(1)、先将问题特殊化，如图2，当 $β = 90 °$ 时，求 $∠ G C F$ 的度数；

(2)、再探究一般情形，如图1，求 $∠ G C F$ 与β的数量关系；
问题拓展：
将图1特殊化，如图3，当 $A B = 3$ ， $β = 120 °$ ，且 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ 时，求 $C F$ 的值．

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18. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究.

(1)、【问题发现】
如图①，在等边 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是边BC上一点，且 $B P = \sqrt{7}$ ，连接AP，以AP为边作等边 $△ A P Q$ ，连接CQ.则CQ的长为；

(2)、【问题提出】
如图②，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $P$ 是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰 $△ A P Q$ ，使 $A P = P Q ， ∠ A P Q = ∠ A B C$ ，连接CQ.试说明 $∠ A B C$ 与 $∠ A C Q$ 相等；

(3)、【问题解决】
如图③，在正方形ADBC中，点 $P$ 是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，点 $Q$ 是正方形APEF的对称中心，连接CQ.若正方形APEF的边长为12， $C Q = 4 \sqrt{2}$ ，求正方形ADBC的边长.

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