新定义型—浙江省七（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 $m @ n = m n - m + n$ ，例如： $2 @ 3 = 2 \times 3 - 2 + 3$ ．若 $2 @ (x - 1)$ 的运算结果与 $(x - 1) @ 2$ 的运算结果相同，则x的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\times$ 1=2， 3!=3 $\times$ 2 $\times$ 1=6，……，则 $\frac{100 ！}{98 ！}$ 的值为（）

A、 $\frac{100}{98}$ B、99！ C、9900 D、 2！

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3. 在多项式 $x - y - z - m - n ($ 其中 $x > y > z > m > n)$ 中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如 $x - y - | z - m | - n = x - y - z + m - n$ ， $| x - y | - z - | m - n | = x - y - z - m + n$ ， $\dots$ 则所有“绝对操作”共有种不同运算结果．（）

A、 $7$ B、 $6$ C、 $5$ D、 $4$

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4. 在多项式 $x - y - z - m - n$ （其中 $x > y > z > m > n$ ）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如 $x - y - | z - m | - n = x - y - z + m - n$ ， $| x - y | - z - | m - n | = x - y - z - m + n$ ， ……则所有“绝对操作”共有（）种不同运算结果

A、7 B、6 C、5 D、4

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二、填空题

5. 若规定 $a △ b = \frac{a + 2 b}{2} ，$ 则方程 $3 △ | x | = 4$ 的解 $x =$ .

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6. 规定一种新的运算“*”：a*b=2-a-b，则 $\frac{2 x - 1}{3} * \frac{1 + x}{2} = 1$ 的解是。

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7. 对于任意的实数a，b，定义新运算“※”：a※b $= \frac{2 a - 3 b}{3},$ 则方程（x-1）※（x+2）=1的解为.

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8. 在学习了有理数的运算后，小明定义了新的运算：取大运算“V”和取小运算“Λ”，比如：3 V 2=3，3Λ2=2，利用“加、减、乘、除”以及新运算法则进行运算，下列运算中正确的是．
①[3V（-2）]Λ4=4

②（aVb）Vc=aV（bVc）

③-（aVb）=（-a）Λ（-b）

④（aΛb）×c=acΛbc

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9. 对于两个不相等的有理数 $a ， b$ ，我们规定符号 $m i n {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 两数中较小的数，例如 $m i n {2 ， - 3} = - 3$ ．按照这个规定，方程 $m i n {x ， - x} = - 3 x - 12$ 的解为．

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10. 对于任意实数a、b定义一种新运算“△”如下： $a Δ b = a^{2} - 2 a b$ ，例如 $2 Δ 3 = 2^{2} - 2 \times 2 \times 3 = - 8$ ，若 $5 Δ x = 1 Δ (2 x)$ ，则 $x =$ ．

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11. 现规定一种新的运算： $| \begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - b c$ ，若 $| \begin{array}{l} 3 & 3 \\ 2 - x & 4 \end{array} | = 9$ ，则 $x =$ .

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12. “格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算47×51，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为．

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13. 将3个互不相同的正整数a，b，c排成一行，在数字前任意添加“ $+$ ”或“ $-$ ”号，可以得到一个算式．若运算结果为0，我们就称这组数为“守恒数组”，记为 $(a ， b ， c)$ ．例如数1，2，3满足 $1 + 2 - 3 = 0$ ，所以可记为 $(1 ， 2 ， 3)$ ．根据定义， $(2 ， m ， 6)$ 中正整数m的值可以为．（写出一个即可）

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14. 已如x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作 $[x]$ ．例如， $[3.2] = 3$ ， $[5] = 5$ ， $[- 2.1] = - 3$ ．因此， $3.2 = [3.2] + 0.2$ ， $5 = [5] + 0$ ， $- 2.1 = [- 2.1] + 0.9$ ，所以有 $x = [x] + a$ ，其中 $0 \leq a < 1$ ．

(1)、若 $x = - 5.3$ ，则 $[x] =$ ， a＝．

(2)、已知 $2 a = [x] + 2$ ．则x= ．

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三、解答题

15. 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．

(1)、如图①，若点C为线段AB的“雅点”， $A C = 6 (A C < B C)$ ，则AB＝______；

(2)、如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）

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16. 任意一个四位正整数，如果它的千位数字与百位数字的和为5，十位数字与个位数字的和为6，那么我们把这样的数称为“五颜六色数”．例如：1433的千位数字与百位数字的和为：1+4＝5，十位数字与个位数字的和为：3+3＝6，所以1433是一个“五颜六色数”；3252的十位数字与个位数字的和为：5+2≠6，所以3252不是一个“五颜六色数”．

(1)、判断2315“五颜六色数”，4223“五颜六色数”（填“是”或“不是”）；

(2)、若一个“五颜六色数”m表示成 $\bar{a b c d}$ ，其中a、b、c、d分别是其千位数、百位数、十位数和个位数字，交换其百位数字和十位数字得到新数m'＝ $\bar{a b c d}$ ．
①若 $\frac{m - m^{'}}{2}$ ＝135，试求4b﹣2c+a+d的值．
②若m'也是五颜六色数，关于x的方程（4﹣d+a）x＝b²+2的所有整数解分别为x₁ ， x₂ ， …，x_n ，试求|y﹣x₁|+|y﹣x₂|+…+|y﹣x_n|的最小值．

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17. 定义一种新运算，规定 $a ⊙ b = | a + b | + | a - b |$ .

(1)、计算 $1 ⊙ (- 3)$ 的值；

(2)、表示数m的点M在数轴上的位置如图所示，且 $2 ⊙ m = 6$ ，求m的值.

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18. 定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点 C到A，B两点的距离呈2 倍关系，即AC=2BC 或BC=2AC，则称C是线段AB 的“倍距点”。

(1)、线段AB的中点(填“是”或者“不是”)该线段的“倍距点”。

(2)、已知AB=9，C 是线段AB 的“倍距点”，则AC=。

(3)、如图①，在数轴上，点A 表示的数为2，点 B 表示的数为 20，C 为线段 AB 的中点。
①现有一动点 P 从原点O 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。设运动时间为t(s)(t>0)，求当t为何值时，P为AC的“倍距点”。
②现有一长度为2的线段MN(如图②，点M起始位置在原点)，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动。当N为MC 的“倍距点”时，请直接写出t的值。

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19. 阅读材料：
我们定义：如果两个实数的和等于这两个实数的积，那么这两个实数就叫做“和积等数对”，即：如果 $a + b = a \times b$ ，那么a与b就叫做“和积等数对”，记为 $(a ， b)$ .
例如： $2 + 2 = 2 \times 2$ ， $\frac{1}{2} + (- 1) = \frac{1}{2} \times (- 1)$ ， $3 + \frac{3}{2} = 3 \times \frac{3}{2}$ ，
则称数对 $(2 ， 2)$ ， $(\frac{1}{2} ， - 1)$ ， $(3 ， \frac{3}{2})$ 是“和积等数对”.
根据上述材料，解决下列问题：

(1)、下列数对中，“和积等数对”是 $($ 填序号 $)$ ；
① $(- \frac{2}{3} ， 2)$ ； ② $(\frac{5}{4} ， 5)$ ； ③ $(- 1 ， 2)$ .

(2)、如果 $(x ， 4)$ 是“和积等数对”，请求出x的值；

(3)、如果 $(m ， n)$ 是“和积等数对”，那么m=（用含 $n$ 的代数式表示）.

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20. 我们知道分数 $\frac{1}{3}$ 写为小数形式即 $0 . \dot{3}$ ，反过来，无限循环小数 $0 . \dot{3}$ 写为分数形式即 $\frac{1}{3} .$ 一般地，任何一个无限循环小数都可以写为分数形式．
例：将 $0 ． \dot{7}$ 化为分数形式．
设 $0 ． \dot{7} = x$ ，由 $0 ． \dot{7} = 0 ． 777 \dots$ 可知， $10 x = 7.77 \dots$ ，所以 $10 x = 7 + x$ ，解得 $x = \frac{7}{9} .$ 于是，得 $0 . \dot{7} = \frac{7}{9}$
根据以上阅读，回答下列问题： $($ 以下计算结果都用最简分数表示 $)$

(1)、【理解】 $0 . \dot{8} =$ ．

(2)、【迁移】将 $0 . \dot{2} \dot{3}$ 化为分数形式，写出推导过程． $($ 温馨提示： $0 . \dot{2} \dot{3} = 0.232323 \dots$ ，它的循环节有两位哦 $！)$

(3)、【创新】若 $0 . \dot{4} 2857 \dot{1} = \frac{3}{7}$ ，则 $5 . \dot{7} 1428 \dot{5} =$ ．

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21. 如果两个角之差的绝对值等于 $60 °$ ，则称这两个角互为等差角，即若 $| ∠ α - ∠ β | = 60 °$ ，则称 $∠ α$ 和 $∠ β$ 互为等差角 $. ($ 本题中所有角都是指大于 $0 °$ ，且小于 $180 °$ 的角 $)$

(1)、若 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 互为等差角 $.$ 当 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ $.$ 当 $∠ 1 = 90 °$ ，则 $∠ 2 =$ ；

(2)、如图 $1$ ，将一长方形纸片沿着 $E P$ 对折 $($ 点 $P$ 在线段 $B C$ 上，点 $E$ 在线段 $A B$ 上 $)$ 使点 $B$ 落在点 $B^{'} .$ 若 $∠ E P B^{'}$ 与 $∠ B^{'} P C$ 互为等差角，求 $∠ B P E$ 的度数；

(3)、再将纸片沿着 $F P$ 对折 $($ 点 $F$ 在线段 $C D$ 或 $A D$ 上 $)$ 使点 $C$ 落在点 $C^{'} .$ 如图 $2$ ，若点 $E$ ， $C^{'}$ ， $P$ 在同一直线上，且 $∠ B^{'} P C^{'}$ 与 $∠ E P F$ 互为等差角，求 $∠ E P F$ 的度数 $($ 对折时，线段 $P B^{'}$ 落在 $∠ E P F$ 内部 $)$ ．

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22. 新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线 $O C$ 、 $O D$ 在 $∠ A O B$ 的内部，且 $∠ C O D = \frac{1}{2} ∠ A O B$ ，则 $∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：

(1)、如图1， $∠ A O B = 70 ° ， ∠ A O C = 25 °$ ，若 $∠ C O D$ 是 $∠ A O B$ 的内半角，则 $∠ B O D =$ °；

(2)、如图2，已知 $∠ A O B = 60 °$ ，将 $∠ A O B$ 绕点O按顺时针方向旋转一个角度 $α$ （ $0 < α < 60 °$ ）至 $∠ C O D$ ．若 $∠ C O B$ 是 $∠ A O D$ 的内半角，求 $α$ 的值；

(3)、把一块含有30°角的三角板 $C O D$ 按图3方式放置．使 $O C$ 边与 $O A$ 边重合， $O D$ 边与 $O B$ 边重合．如图4，将三角板 $C O D$ 绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线 $O A$ 、 $O B$ 、 $O C$ 、 $O D$ 构成内半角时，直接写出t的值．

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