综合与实践题—浙江省八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、综合与实践题

1. 根据表中素材，探索完成以下任务：

建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”

问题情境

素材1

已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．

素材2

现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．

素材3

从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；

从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．

问题解决

分析

设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．

	运量（吨）		运费（元）
	甲仓库	乙仓库	甲仓库	乙仓库
A村	x	$48 - x$	$20 x$	$15 (48 - x)$
B村	$40 - x$	① ▲	$25 (40 - x)$	② ▲

问题1

设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．

问题2

为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少 $a (4 < a < 8)$ 元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）

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2. 现有斜边相等的一副三角板，已知 $∠ A C B = ∠ A P B = 9 0^{°}, ∠ B A C = 4 5^{°}$ ， $∠ P A B = 3 0^{°}$ .某学习小组利用这副三角板进行数学探究时发现：若这副三角板按如图①或图②方式摆放，连结PC，则PA、PB与PC之间存在一定的数量关系.

(1)、聪明的小嘉同学对图①开展了探究，他的思路：通过延长PA至点 $M$ ，使得 $A M = P B$ ，连结CM.然后证明 $△ C B P ≅ △ C A M$ ，再证 $△ P C M$ 是等腰直角三角形，从而获得 $P A + P B = \sqrt{2} P C$ ，请你按照小嘉的思路写出完整的解题过程；

(2)、若这副三角板按图②方式摆放，则上述PA、PB与PC之间的数量关系还成立吗？若不成立，请写出它们之间存在的数量关系，并说明理由.

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3. 定义：在任意 $△ A B C$ 中，如果一个内角度数的2倍与另一个内角度数的和为 $90 °$ ，那么称此三角形为“倍角互余三角形”.

(1)、【基础巩固】若 $△ A B C$ 是“倍角互余三角形”， $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ $°$ ；

(2)、【尝试应用】如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一点，若 $∠ C A D$ 与 $∠ C A B$ 互余.求证： $△ A B D$ 是“倍角互余三角形”；

(3)、【拓展提高】如图2，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，试问在边 $B C$ 上是否存在点 $E$ ，使得 $△ A B E$ 是“倍角互余三角形”？若存在，请求出 $B E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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4. 【问题背景】

(1)、如图1，点P是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，求证： $A C ∥ B D$ ；

(2)、【变式迁移】
如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $B D$ 是底边 $A C$ 上的高线，点E为 $△ A B D$ 内一点，连接 $E D$ ，延长 $E D$ 到点F，使 $E D = F D$ ，连接 $A F$ ，若 $B E ⊥ A F$ ，若 $A B = 10$ ， $E B = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(3)、【拓展创新】
如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在线段 $B D$ 上（点E不与点B，点D重合），连接 $C E$ ，过点A作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 8$ ， $C F = 3$ ，请直接写出 $F D$ 的长.

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5. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 8 ， B C = 6$ ， D是 $A B$ 的中点，点E在线段 $A C$ 上，连结 $D E$ ，作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $B C$ 于点F，连结 $E F$ .

(1)、【初步尝试】
如图2，当 $A E = 4$ ，线段 $E F$ 的长度是，线段 $B F$ 的长度是.

(2)、【结论探究】
如图1，小宁猜想“ $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如下表所示，请帮小宁完成证明.
如图，延长 $E D$ 至G，使 $D G = D E$ ，连结 $B G$ ， $F G$ .

(3)、【拓展应用】
如图3，当点E在线段 $C A$ 的延长线上时，连结 $D E$ ，作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $B C$ 于点F，连结 $E F$ .请补全图形，并求出当 $A E = 2$ 时，线段 $B F$ 的长.

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6. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解：如图1．在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B D = 2$ ， $C D = \sqrt{21}$ ，说明 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形．

(2)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF ，求证 $E F ⊥ A D$ ．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，且 $B D = C D$ ，连接AD ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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7. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 2) ， B (- 1 ， 3) ， C (2.5 ， - 1)$ ，直线l是第二、四象限的角平分线．

(1)、操作：连结线段 $A B$ ，作出线段 $A B$ 关于直线l的轴对称图形 $A_{1} B_{1}$ ．

(2)、发现：请写出坐标平面内任一点 $P (a ， b)$ 关于直线l的对称点 $P^{'}$ 的坐标．

(3)、应用：请在直线l上找一点Q，使得 $Q A + Q C$ 最小，并写出点Q的坐标．

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8. 综合与实践

生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度

素材1

如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．

素材2

对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 $x$ $c m$ ，单层部分的长度是 $y$ $c m$ ，得到如下数据：

双层部分长度 $x (c m)$	2	6	10	14	$a$
单层部分长度 $y (c m)$	116	108	100	92	70

素材3

单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 $2 ： 3$

素材4

小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为 $53.5 c m$ ；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为 $38 c m$ ，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的 $\frac{1}{8}$ ．

(1)、【任务1】在平面直角坐标系中，以所测得数据中的

x

为横坐标，以

y

为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量

x

、

y

是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出

a

值并确定

x

的取值范围．

(2)、【任务2】设人身高为

h

，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高

h

与这款背包的背带双层部分的长度

x

之间的函数表达式．

(3)、当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．

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9.

(1)、【问题发现】
如图1，在△ABC与△CDE中，∠B=∠E=∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝4，ED＝3，则BE=.

(2)、【问题提出】
如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积.

(3)、【问题解决】
如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠CAB=∠ADC＝45°，△ACD面积为14且CD的长为7，求△BCD的面积.

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10.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， $E$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B A E = ∠ C D E$ ， $D$ ， A ， $E$ 三点共线．
求证： $A B = C D$ ．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $A E$ 至点 $F$ ，使得 $A E = E F$ ，连结 $C F$ ．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 $△ A B E ≌ △ F C E$ ，依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A A S$ D、 $H L$

(2)、由全等三角形、等腰三角形的性质可得 $A B = C D$ ．
【初步运用】如图2，在 $△ B G C$ 中， $G F$ 平分 $∠ B G C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作 $E D ∥ G F$ ，分别交 $C G$ 的延长线和 $B G$ 于点 $D$ 、点A ．求证： $A B = C D$ ．

(3)、【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即 $E$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B A E = ∠ C D E$ ， $D$ ， A ， $E$ 三点共线），连结 $A C$ ，若 $∠ C A E = 2 ∠ B A E$ ，当 $A D = 6$ ， $B C = 10$ 时，求 $A E$ 的长．

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11. 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．

(1)、特例感知
①等腰直角三角形 ▲ 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知 $△ A B C$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点， $C D$ 是 $A B$ 边上的高．若 $B D = 2 A D = 2$ ，试求线段 $C D$ 的长度．

(2)、深入探究
如图2，已知 $△ A B C$ 为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且 $C A > C B$ ， $C D$ 是 $A B$ 边上的高，试探究线段 $A D$ 与 $C B$ 的数量关系，并给予证明；

(3)、推广应用
如图3，等腰 $△ A B C$ 为勾股高三角形，其中 $A B = A C > B C$ ， $C D$ 为 $A B$ 边上的高，过点D向 $B C$ 边引平行线与 $A C$ 边交于点E ．若 $C E = a$ ，试求线段 $D E$ 的长度．

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12. 综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角 $△ A B C$ 和等腰直角 $△ C D E$ ， $A C = B C$ ， $D C = E C$ ， $∠ B C A = ∠ D C E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $A E$ ，如图1．
独立思考：

(1)、如图1，求证： $B D = A E$ ；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把 $△ C D E$ 旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 绕着点C旋转到某一位置时恰好有 $C D ∥ A B$ ， $B D = B A$ ．
①求 $∠ B C E$ 的度数；
②线段 $A E$ 与线段 $B D$ 交于点F ，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值；
③若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C E$ 的值．

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13. 如图

(1)、问题背景：如图 1，在 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 中， $A B = A C, A D = A E, ∠ B A C = ∠ D A E$ .求证： $B D = C E$ .

(2)、类比探究：如图 2，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{°}, A C = A B$ ，点 $D$ 为边 B C上任意一点（不是 B C 中点），求证： $B D^{2} + D C^{2} = 2 A D^{2}$ .

(3)、拓展应用：如图 3，在四边形 A B C D 中， $∠ A B C = 9 0^{°}, ∠ A D C = 6 0^{°}, A D = C D, A B = \sqrt{3}, B C = 4$ ，求 B D 的长.

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