《特殊三角形》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如下图，点 $M$ 在等边 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上， $B M = 8$ ，射线 $C D ⊥ B C$ 垂足为点 $C$ ，点 $P$ 是射线 $C D$ 上一动点，点 $N$ 是线段 $A B$ 上一动点，当 $M P + N P$ 的值最小时， $B N = 9$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、17 B、16 C、13 D、12

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2. 如图，在“V”字形图形中， $D E = D F$ ， $B E = C F$ ， $∠ D = 6 0^{∘}$ ， $C F / / D E / / A B$ ， $B E / / D F / / A C$ ，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（）．

A、 $B E$ 的长 B、 $D E$ 的长 C、 $A B$ 的长 D、 $A B$ 与 $B E$ 的和

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3. 如图，将一张直角梯形纸板 $A B C D$ （ $C D ∥ A B$ ， $A B ⊥ A D$ ）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形．若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（）

A、 $A E$ B、 $A D$ C、 $B E$ D、 $B C$

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4. 如图，将一张直角梯形纸板（ $C D ∥ A B$ ， $A B ⊥ A D$ ）剪成3部分，恰好能拼成一个等腰三角形，若想知道1号部分的周长，则只需测量下列哪条线段即可（）

A、 $A E$ B、 $A D$ C、 $B E$ D、 $B C$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，以其三边为边向形外分别作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，使点D，E，F，G，H恰好在长方形的边上，则图中阴影部分的面积为（）．

A、 $\frac{1197}{25}$ B、 $\frac{1347}{25}$ C、56 D、 $\frac{2597}{25}$

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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F ， BE⊥AC于点E ， D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　）

A、7 B、8 C、 $\sqrt{55}$ D、 $\sqrt{73}$

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 中，D、E分别为AC、BC边上的点， $A D = C E$ ，连接AE、BD交于点 $F ， ∠ C B D 、 ∠ A E C$ 的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点 $H$ ，连接FG.下列说法：
① $△ A B D ≌ △ C A E$ ；② $∠ B G E = 3 0^{°}$ ；③ $∠ A B G = ∠ B G F$ ；④AB=AH+FG；
其中正确的说法是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B = 60 °$ ， $∠ A = 45 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上一点，点 $P 、 Q$ 分别是点 $D$ 关于 $A B 、 A C$ 的对称点，则 $P Q$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{8}$ C、4 D、2

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9. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点， $∠ G D H = 90 °$ ， $∠ G D H$ 绕点D旋转， $D G ， D H$ 分别与边 $A C$ ， $B C$ 交于E，F两点，下列结论：① $A E + B F = \frac{\sqrt{2}}{2} A B$ ；② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；③ $S_{四边形 C E D F} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ ；④ $Δ D E F$ 始终为等腰直角三角形，其中正确的是（）

A、①②④ B、①②③ C、③④ D、①②③④

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二、填空题

10. 如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 70 °$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ O C B = 5 °$ ， $∠ A B O = 25 °$ ，则 $∠ O A C =$ .

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11. 已知，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B = 30 ° ， A C = 1$ ，点D在斜边 $A B$ 上，将 $R t △ A B C$ 沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在射线 $B C$ 上的 $B^{'}$ 处，连结 $D B^{'} ， A B^{'}$ ．

(1)、当D是 $A B$ 的中点时， $S_{△ A B^{'} D} =$ ．

(2)、当△ $A B^{'} D$ 是直角三角形时， $A D$ 的长是．

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12. 如图， $∠ M O N = 90 °$ ，已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 25$ ， $A B = 14$ ， $△ A B C$ 的顶点A、B分别OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动， $△ A B C$ 的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 120 °$ ， D是AB上一点，且 $B D = 2 \sqrt{3}$ ， E是BC上一点，把 $△ B D E$ 沿DE翻折得 $△ B^{'} D E$ ，线段 $B^{'} D$ 与BC交于点F，当 $B^{'} D$ 所在的直线与 $△ A B C$ 的一边垂直时，DF的长是．

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14. 如图，已知在Rt△ABC中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点D，E分别在边 $B C ， A C$ 上，连接 $A D$ ， $D E$ ，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折，将 $△ D C E$ 沿 $D E$ 翻折，翻折后，点B，C分别落在点 $B ′$ ， $C^{'}$ 处，且边 $D B^{'}$ 与 $D C^{'}$ 在同一条直线上，连接 $A C^{'}$ ，当△ADC’是以 $A D$ 为腰的等腰三角形时，则BD= ．

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15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点．

(1)、若△DEF的周长是8，则△ABC的周长是；

(2)、若AE：EC＝3：2，则AF：EF＝．

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16. 如图，在等边 $Δ A B C$ 中， $A C = 10$ ，点O在线段 $A C$ 上，且 $A O = 3$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上一点，连接 $O P$ ，以 $O$ 为圆心， $O P$ 长为半径画弧交线段 $B C$ 于一个点 $D$ ，连接 $P D$ ，如果 $P O = P D$ ，那么 $A P$ 的长是．

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17. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $Δ A E F$ 为等腰 $R t$ △，且 $∠ A E F = 90 °$ ，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，点 $F$ 在线段 $C D$ 上，若 $3 (A B + B E) = 2 (A D + D F)$ ，则 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{长方形 A B C D}} =$ ．

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18. 如图，有一直角三角形纸片 $A B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 1$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ． $F$ ， $G$ 分别是线段 $A D$ ， $B D$ 上的点， $H$ ， Ⅰ分别是线段 $A C$ ， $B C$ 上的点，沿 $H F$ ， $G I$ 折叠，使点 $A$ ， $B$ 恰好都落在线段 $C D$ 上的点 $E$ 处．当 $F G = E G$ 时， $A F$ 的长是．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 5$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上且 $A D = 2$ ，点 $E$ 是 $A B$ 上的动点，连结 $D E$ ，点 $F, G$ 分别是 $B C$ 和 $D E$ 的中点，连结 $A G, F G$ ．当 $A G = F G$ 时，线段 $A G$ 的长为．

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20. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B = 40 °$ ，点D是 $B C$ 上一动点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A D E$ ，当 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分是直角三角形时， $∠ B A D$ 的度数为．

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21. 如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交BC于点M ．若AH＝HE ，则CM的长为．

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三、解答题

22. 已知 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ .

(1)、如图1，点D在 $△ A B C$ 内，求证： $A D ⊥ B E$ ；

(2)、如图2，A、D、E三点在同一条直线上，若 $A B = 13 \sqrt{2}$ ， $D E = 10$ ，求 $△ A C D$ 的面积；

(3)、如图3，若 $A B = 19$ ，点D在边 $A B$ 上运动，求 $△ B D E$ 周长的最小值.

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23. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ A B C = α (60 ° < α < 180 °)$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $A C$ ， $B E$ 交于点 $F$ ．

(1)、当 $α = 100 °$ 时， $∠ B A C =$ ， $∠ A B F =$ ；

(2)、当 $α$ 的大小改变时， $∠ B F C$ 的度数是否发生改变？若变化，求 $∠ B F C$ 的变化范围，若不变，求 $∠ B F C$ 的度数；

(3)、猜想 $A F$ ， $B F$ ， $C F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(4)、若 $S_{Δ A B F} ： S_{Δ C B F} = 3 ： 8$ ，则 $\frac{E F}{B F} =$ ．

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24. 如图（1）， $A D$ 是 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，将 $△ A D C$ 沿直线 $A D$ 翻折得到 $△ A D E$ ，连接 $B E$ ， $C E$ ．

(1)、求证： $△ B C E$ 是直角三角形．

(2)、如图（2），若 $∠ B A C = 9 0^{∘}$ ， $∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，求 $∠ B C E$ 的大小．

(3)、若 $△ A B C$ 是直角三角形， $△ B D E$ 是等边三角形，探究 $A D$ 与 $D C$ 的数量关系．

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四、实践探究题

25. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解：如图1．在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B D = 2$ ， $C D = \sqrt{21}$ ，说明 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形．

(2)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF ，求证 $E F ⊥ A D$ ．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，且 $B D = C D$ ，连接AD ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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26. 综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角 $△ A B C$ 和等腰直角 $△ C D E$ ， $A C = B C$ ， $D C = E C$ ， $∠ B C A = ∠ D C E = 90 °$ ，连接 $B D$ ， $A E$ ，如图1．
独立思考：

(1)、如图1，求证： $B D = A E$ ；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把 $△ C D E$ 旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：

(2)、如图2，在 $△ A B C$ 绕着点C旋转到某一位置时恰好有 $C D ∥ A B$ ， $B D = B A$ ．
①求 $∠ B C E$ 的度数；
②线段 $A E$ 与线段 $B D$ 交于点F ，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值；
③若 $B C = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C E$ 的值．

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27. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 9 0^{∘} ， A B = 3 ， A C = 4 ， B D = 2 ， C D = \sqrt{21}$ ，说明 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形．

(2)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，E、F分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点，连结 $E F$ ，求证 $E F ⊥ A D$ ．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，且 $B D = C D$ ，连结 $A D$ ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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28.

(1)、【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1， $E$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B A E = ∠ C D E$ ， $D$ ， A ， $E$ 三点共线．
求证： $A B = C D$ ．
小明在组内经过合作交流，得到解决方法：延长 $A E$ 至点 $F$ ，使得 $A E = E F$ ，连结 $C F$ ．
请根据小明的方法思考：由已知和作图能得到 $△ A B E ≌ △ F C E$ ，依据是（）

A、 $S S S$ B、 $S A S$ C、 $A A S$ D、 $H L$

(2)、由全等三角形、等腰三角形的性质可得 $A B = C D$ ．
【初步运用】如图2，在 $△ B G C$ 中， $G F$ 平分 $∠ B G C$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作 $E D ∥ G F$ ，分别交 $C G$ 的延长线和 $B G$ 于点 $D$ 、点A ．求证： $A B = C D$ ．

(3)、【拓展运用】如图3，在（1）的基础上（即 $E$ 是 $B C$ 的中点， $∠ B A E = ∠ C D E$ ， $D$ ， A ， $E$ 三点共线），连结 $A C$ ，若 $∠ C A E = 2 ∠ B A E$ ，当 $A D = 6$ ， $B C = 10$ 时，求 $A E$ 的长．

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