《三角形的全等》精选压轴题—浙江省八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2025-01-01 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在△ABC中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为（） .

A、8 B、10 C、4 $\sqrt{2}$ D、8 $\sqrt{2}$

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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D，E分别为线段AB，AC
上一点，且AD＝AE，连接BE、CD交于点G，延长AG交BC于点F．以下四个结论正确的是（）
①BF＝CF； ②若BE⊥AC，则CF＝DF；
③连结EF，若BE⊥AC，则∠DFE＝2∠ABE
④.若BE平分∠ABC，则FG= $\frac{3}{2}$ ；

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边作三个正方形，点G落在 $H I$ 上，若 $A C + B C = 6$ ，空白部分面积为10.5，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\sqrt{20}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{18}$

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二、填空题

4. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0) ， B (0 ， 3) ， C (- 3 ， 0)$ ，点 $D$ 是线段 $A B$ 上一点， $C D$ 交 $y$ 轴于 $E$ ，且 $S_{△ B C E} = 2 S_{△ A O B}$ ，

(1)、 $E$ 的坐标为：．

(2)、若 $F$ 为射线 $C D$ 上一点，且 $∠ D B F = 45 °$ ，则点 $F$ 的坐标为．

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5. 直线CD经过∠BCA的顶点C ， CA＝CB ． E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则EF|BE﹣AF|（填“＞”，“＜”或“＝”号）；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是．

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $∠ B A C = 4 0^{∘}$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 外角 $∠ A C F$ 平分线上的一点，连接 $A D$ 、 $B D$ ，若 $∠ A D B = ∠ A C B$ ，则 $∠ D A C =$ 度．

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7. 在直角三角形纸片 $A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，折叠纸片使得点 $C$ 落在 $A B$ 边上点 $C^{'}$ 处，折痕是 $A D$ （如图1），将纸片复原，再次折叠纸片，使得点 $A$ 落在 $B C$ 边上的点 $D$ 处，折痕是 $E F$ （如图2），继续折叠纸片，使得点 $B$ 与点 $D$ 重合，折痕是 $G H$ ，得到多边形 $C E F G H$ （如图3）．将若干个全等的多边形交叉重叠便可得到棒棒糖的糖果部分（如图4）．

(1)、图1中 $C D$ 的长为 $c m$ ．

(2)、图3中 $F G$ 的长为 $c m$ ．

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8. 如图1，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $M$ 为 $A B$ 中点.将 $Δ A C M$ 沿 $C M$ 翻折，得到 $D C M$ （如图2）， $P$ 为 $C D$ 上一点，再将 $Δ D M P$ 沿 $M P$ 翻折，使得 $D$ 与 $B$ 重合（如图3），给出下列四个命题：① $B P / / A C$ ；② $Δ P B C ≌ Δ P M C$ ；③ $P C ⊥ B M$ ；④ $∠ B P C = ∠ B M C$ .其中说法正确的是.

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9. 在平面直角坐标系中 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，过点B作直线l $∥$ x轴，点 $P (a ， 4)$ 是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰 $R t Δ A P Q$ ，使∠APQ＝90°．

(1)、当a＝0时，则点Q的坐标是．

(2)、当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则OQ的最小值是．

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三、解答题

10. 如图1， $△ A B C$ 为等腰直角三角形，∠ $A B C$ =90°，动点 $D$ 从 $A$ 出发沿线段 $A C$ 向终点 $C$ 运动，连结 $B D$ ，以 $B D$ 为直角边向右作等腰直角△ $B D E$ ，斜边 $D E$ 与 $B C$ 交于点 $M$ ，连结 $C E$ ．

(1)、求证：△ $B A D$ ≌△ $B C E$ ；

(2)、如图2，过 $D ， E$ 分别作 $D F ⊥ B C$ 于点 $F ， E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ．请探究： $D F 、 E G 、 B C$ 三条线段之间的数量关系；

(3)、在（2）的条件下，若AB=2，当 $B M$ 等于多少时， $△ D C E$ 的面积最大？并求出最大值.

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11. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0 ， 4)$ ，点B为x轴正半轴上一个动点，以 $A B$ 为边作 $△ A B C$ ，使 $B C = A B ， ∠ A B C = 90 °$ ，且点C在第一象限内．

(1)、如图1，若 $B (2 ， 0)$ ，求点C的坐标．

(2)、如图2，过点B向x轴上方作 $B D ⊥ O B$ ，且 $B D = B O$ ，在点B的运动过程中，探究点C，D之间的距离是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．

(3)、如图3，过点B向x轴下方作 $B D ⊥ O B$ ，且 $B D = B O$ ，连结 $C D$ 交x轴于点E，当 $△ A B D$ 的面积是 $△ B E C$ 的面积的2倍时，求 $O E$ 的长．

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12. 在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = 6 \sqrt{2} ， D$ 是射线 $C B$ 上的动点，过点 $A$ 作 $A F ⊥ A D$ （ $A F$ 始终在 $A D$ 上方），且 $A F = A D$ ，连接 $B F$ ．

(1)、如图1，当点D在线段 $B C$ 上时，判断 $△ B D F$ 的形状，并说明理由．

(2)、如图2，若D ， E为线段 $B C$ 上的两个动点，且 $∠ D A E = 45 °$ ，连接 $E F ， D C = 3$ ，求 $E D$ 的长．

(3)、如图3，若M为 $A B$ 中点，连接 $M F$ ，在点 $D$ 的运动过程中，当 $B D =$ 时， $M F$ 的长最小，最小值是．

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.

(1)、求CD的长.

(2)、若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.

(3)、是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.

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四、实践探究题

14.

(1)、【思维启迪】
如图1，点P是线段 $A B$ ， $C D$ 的中点，则 $A C$ 与 $B D$ 的数量关系为，位置关系为；

(2)、【思维探索】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为 $△ A B C$ 内一点，连接 $B D$ ， $D C$ ，延长 $D C$ 到点E ，使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ，若 $B D ⊥ A E$ ，请用等式表示 $A B$ ， $B D$ ， $A E$ 之间的数量关系，并说明理由；
★小明思考良久后，根据 $C E = C D$ 这一条件，给出了如图4的辅助线：延长 $A C$ 到T ，使得 $C T = A C$ ，连接 $D T$ ， $B T$ ，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想 $A B$ ， $B D$ ， $A E$ 之间的数量关系，并说明理由．

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点D为 $A B$ 中点，点E在线段 $B D$ 上（点E不与点B ，点D重合），连接 $C E$ ，过点A作 $A F ⊥ C E$ ，连接 $F D$ ，若 $A F = 8$ ， $C F = 3$ ，请求出 $F D$ 的长．

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