广东省建文教育集团两学部2024-2025学年高三上学期12月第一次模拟数学试题

试卷更新日期：2024-12-20 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $z i = 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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2. 已知命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{3} = x^{2}$ ， $q : \forall x \in R$ ， $x^{4} > 0$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、p和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和q都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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3. 记 $S_{n}$ 为非零数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n + 1} = 2 S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{1}} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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4. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A, B$ 是相邻的最低点和最高点，直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + \frac{4}{3}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{6})$

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5. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位： $t$ ），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为 $p$ ，中位数为 $m$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m < p < \bar{x}$ B、 $p < \bar{x} < m$ C、 $m < \bar{x} < p$ D、 $p < m < \bar{x}$

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6. 将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则在下列区间中，函数 $g (x)$ 单调递减的是（）

A、 $(0, \frac{π}{8})$ B、 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ C、 $(\frac{π}{4}, \frac{3π}{8})$ D、 $(\frac{3 π}{8}, \frac{π}{2})$

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7. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $y = f (2 x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，若 $f (0) = - 1$ ，则 $\sum_{i = 1}^{50} f (i) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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8. 椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9. 在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的向量分别为 $\vec{a_{1}}$ 、 $\vec{a_{2}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}|$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |\vec{a_{1}} - \vec{a_{2}}|$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ D、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$

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10. 已知圆锥的顶点为 $P, A B$ 为底面圆 $O$ 的直径， $∠ A P B = 120^{\circ}, P A = 2$ ，点 $C$ 在圆 $O$ 上，点 $G$ 为 $A C$ 的中点， $P G$ 与底面所成的角为 $60^{\circ}$ ，则（）

A、该圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} π$ B、该圆锥的休积为 $π$ C、 $A C = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、该圆锥内部半径最大的球的表面积为 $12 (7 - 4 \sqrt{3}) π$

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11. “ $\infty$ ”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线 $C$ 过坐标原点 $O$ ， $C$ 上的点到两定点 $F_{1} (- a, 0)$ ， $F_{2} (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为定值．则下列说法正确的是（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、若 $|F_{1} F_{2}| = 12$ ，则 $C$ 的方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 72 (x^{2} - y^{2})$ B、若 $C$ 上的点到两定点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 的距离之积为16，则点 $(- 4, 0)$ 在 $C$ 上 C、若 $a = 3$ ，点 $(3, y_{0})$ 在 $C$ 上，则 $2 < y_{0}^{2} < 3$ D、当 $a = 3$ 时， $C$ 上第一象限内的点 $P$ 满足 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，则 ${|P F_{1}|}^{2} - {|P F_{2}|}^{2} = 18 \sqrt{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 ${log}_{4} a + 2 {log}_{a} 2 = 2$ ，则 $a =$ .

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13. 若存在 $a, b, c \in [π, 2 π]$ （ $a, b, c$ 互不相等），满足 $|\sin ω a| + |\sin ω b| + |\sin ω c| = 3 (ω > 0)$ ，则 $ω$ 的取值范围为.

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} - ln x + (1 - m) x - ln m$ 的最小值为0，则 $m =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 $b^{2} + c^{2} = 5$ ．

(1)、若 $\sqrt{2} \sin B = \sqrt{3} \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求A；

(2)、若 $b + c = 3, \cos A = \frac{1}{4}, \sin B > \sin C$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ ．

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16. 已知二阶行列式 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ，三阶行列式 $|\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}| = a_{1} m_{1} - a_{2} m_{2} + a_{3} m_{3}$ ，其中 $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ 分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）．

(1)、计算 $|\begin{array}{l} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}|$ ．

(2)、设函数 $f (x) = |\begin{array}{l} x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}| + |\begin{matrix} x & 2 & x \\ 3 & 2 x & 2 \\ 1 & 3 & x \end{matrix}|$ ．
①若 $f (x)$ 的极值点恰为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前两项，且 $\{a_{n}\}$ 的公差大于0，求 $\sum_{i = 1}^{3 a_{n + 1}} a_{i + 1}$ ；
②若 $f (x_{0}) = 0, a \in (- 2, - 1)$ 且 $a \neq x_{0}$ ，函数 $g (x) = f^{'} (x) (a - x_{0}) - f (a)$ ，证明： $g (a) g (x_{0}) < 0$ ．

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17. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} - 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) = ln x - e^{x} - x^{2} + x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}, x_{11}, a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}, x_{22}$ ，使 $a_{2}, x_{21}, x_{21}, a_{3}$ 成等差数列；依次类推，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}$ ，使 $a_{n}, x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}, a_{n + 1}$ 成等差数列.
（i）若 $T_{n} = x_{11} + x_{21} + x_{22} + \dots + x_{n 1} + x_{n 2} + \dots + x_{n n}$ ，求 $T_{n}$ ；
（ii）对于（i）中的 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n, p (n < p)$ ，使得 $T_{m} = a_{n} + a_{p}$ 成立？若存在，求出所有的正整数对 $(m, n, p)$ ；若不存在，说明理由.

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