浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高二上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-06 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 下列方程所表示的直线中，倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的是（）

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $x + 2 y - 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + y - 1 = 0$

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2. 已知平面 $α ⊥$ 平面 $β, α, β$ 的法向量分别为 ${\vec{n}}_{1} = (1, 2, 3), \vec{n_{2}} = (0, x, 2)$ ，则实数 $x =$ （）

A、3 B、-3 C、2 D、-2

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3. 已知等比数列 ${a_{n}} ， a_{1} = 1 ， a_{2} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为（）

A、55 B、110 C、511 D、1023

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4. 已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，则直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、以上都有可能

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5. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$

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6. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G$ 分别是 $A_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 是线段 $F G$ （含端点）上的动点，当 $P$ 由点 $F$ 运动到点 $G$ 时，三棱锥 $A - C E P$ 的体积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、不变 D、无法判断

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7. 斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 因数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ，则 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023} =$ （）

A、 $a_{2025}$ B、 $a_{2024}$ C、 $a_{2025} - 1$ D、 $a_{2024} - 1$

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8. 已知直线 $l$ 过点 $P (- 2, 0)$ 交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $A, B$ 两相异点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B^{'}$ ，过原点 $O$ 作直线 $A B^{'}$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $Q$ 点的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$ C、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1 (y \neq 0)$ D、 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4 (y \neq 0)$

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二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $2 < t < 4$ 时，曲线 $C$ 是椭圆 B、当 $t > 4$ 或 $t < 2$ 时，曲线 $C$ 是双曲线 C、若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则 $2 < t < 3$ D、若曲线 $C$ 是焦点在 $y$ 轴上的双曲线，则 $2 < t < 4$

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10. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = a_{1} - 4, S_{7} = 147$ ，则（）

A、 $a_{1} = 28$ B、 $a_{4} = 21$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递减数列 D、 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 14$

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11. 已知点 $M (4, 1)$ ，若过点 $N (2, - 1)$ 的直线 $l$ 交圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 于 $A, B$ 两点， $R$ 是圆 $C$ 上的动点，则（）

A、 $|A B|$ 的最大值为6 B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最小值为-1 D、 $\vec{R M} \cdot \vec{R N}$ 的最大值为34

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12. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = 2, A C = B D = \sqrt{3}, A D = B C = \sqrt{5}, E, F, G, H$ 分别是线段 $A B, A C, C D, B D$ 上的点，且满足 $B C$ $∥$ 平面 $E F G H, A D$ $∥$ 平面 $E F G H$ ，则下列说法正确的是（）

A、四边形 $E F G H$ 为矩形 B、三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $|F G| + |G H| = \sqrt{5}$ D、四边形 $E F G H$ 的面积最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 4, 0), \vec{b} = (- 1, x, y)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ ．

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14. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 为抛物线上一点，满足 $∠ A F O = \frac{2 π}{3}$ （ $O$ 为坐标原点）， $A K ⊥ l$ ，垂足为 $K$ ，若 $A K = 2$ ，则 $S_{△ A F K} =$ ．

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线的左，右两支于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ ，则 $\frac{S_{n} + 7}{a_{n} - 1}$ 的最小值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．

17. 如图所示，在棱长均相等的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D, E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B C$ 的中点．

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，请以向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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18. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列．

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C = \sqrt{3}, A B = 3$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，且 $A D = C D$ ，将 $△ A D C$ 沿 $C D$ 翻折至 $△ P D C$ ， $|P B| = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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20. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，渐近线方程为： $x \pm 2 y = 0$ ，双曲线左，右两个顶点分别为 $A, B$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点．设 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = - \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的方程．

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21. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1, S_{5} = 3 a_{5}$ ．

(1)、求 $S_{100}$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot q^{n} (0 < q < 1)$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{q}{{(1 - q)}^{2}}$ ．

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2, \frac{5}{3})$ ，且离心率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、圆 $F$ 的圆心为椭圆 $C$ 的右焦点，半径为 $r$ ，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 及圆 $F$ 交于 $A, P, Q, B$ 四点（如图所示），若存在 $| P Q |^{2} = | A P | | B Q |$ ，求圆 $F$ 的半径 $r$ 取值范围．

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