新定义型—广东省（人教版）八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2024-12-29 类型：复习试卷

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一、三角形

1. 我们给出定义：若三角形中一个内角 $α$ 是另一个内角的三分之一，我们称这个三角形是“分角三角形”，其中 $α$ 称为“分角”.已知一个“分角三角形”中有一个内角为60°，那么这个“分角三角形”中分角 $α$ 的度数是.

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2. 【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形” $．$ 例如，三边为 $6$ ， $8$ ， $10$ 的三角形是“好运三角形”．

(1)、【概念运用】在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ，若 $△ A B C$ 为“好运三角形”，求 $A C$ 的长；

(2)、【变式运用】已知 $△ A B C$ 的周长为 $16$ ， $A C = 4$ ，若 $A B$ 的长为偶数，试判断 $△ A B C$ 是否为“好运三角形”．

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3. 我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝， △AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．
【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使 $∠ E F C + ∠ B D C = 180 °$ ， $∠ D E F = ∠ B$ ．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．

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4. 定义：如图1，若P是 $△ A B C$ 内部一点，且 $∠ P C B = ∠ P B A = α$ ，则称点P为 $△ A B C$ 的勃罗卡点，同时称 $α$ 为 $△ A B C$ 的勃罗卡角．

(1)、如图2，P为等边 $△ A B C$ 内部一点．其中 $A P = B P$ ， $∠ B A P = 25 °$ ，请判断点P是不是等边 $△ A B C$ 的勃罗卡点，并说明理由；

(2)、如图3，P为等边 $△ A B C$ 的勃罗卡点，求等边 $△ A B C$ 的勃罗卡角的度数；

(3)、如图4，在（2）的条件下，作点P关于 $A B$ 的对称点 $P^{'}$ ，连接 $P P^{'}$ 与 $A B$ 相交于点O ，连接 $A P^{^{'}}$ ， $B P^{'}$ ，记 $△ A P P^{^{'}}$ 的勃罗卡点为M ， $△ B P P^{'}$ 的勃罗卡点为N ，求证： $△ P M N$ 为等边三角形．

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5. 在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如 $120 ° ， 40 ° ， 20 °$ 的三角形是“智慧三角形”．如图， $∠ M O N = 60 °$ ，在射线 $O M$ 上找一点A，过点 $A$ 作 $A B ⊥ O M$ 交 $O N$ 于点 $B$ ，以 $A$ 为端点作射线 $A D$ ，交射线 $O B$ 于点 $C$ ．

(1)、 $∠ A B O$ 的度数为_______°， $△ A O B$ ______（填“是”或“不是”）智慧三角形；

(2)、若 $∠ O A C ＝ 20 °$ ，求证： $△ A O C$ 为“智慧三角形”；

(3)、当 $△ A B C$ 为“智慧三角形”时，求 $∠ O A C$ 的度数．

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二、分式

6. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a ， b}表示a、b中的较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{ $\frac{1}{x}$ ， $\frac{2}{x}$ }＝ $\frac{3}{x}$ －1的解为（）

A、1 B、2 C、1或2 D、1或－2

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7. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（）

A、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x + y)}^{2}}$ B、 $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ C、 $\frac{x - 2 y}{x^{2} - y^{2}}$ D、 $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$

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8. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式； $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 3}{x + 1} = \frac{x^{2} - 1 + 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{4}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{2 x}$ 是分式(填“真”或“假”)；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x + 2}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值．

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9. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数 $.$ 如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3} .$ 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” $.$ 如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式； $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式 $.$ 类似地，假分式也可以化为带分式 $($ 即：整式与真分式的和的形式 $)$ ．
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 3}{x + 1} = \frac{x^{2} - 1 + 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{4}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{2 x}$ 是分式 $($ 填“真”或“假” $)$ ；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x + 2}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值．

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三、整式

10. 学习了平方差、完全平方公式后，小明同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式： $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ ，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题：

(1)、【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子：
①化简： $(a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) =$ ______；
②计算： $(2023^{3} + 1) \div (2023^{2} - 2023 + 1) =$ ______；

(2)、【公式运用】已知： $\frac{1}{x} + x = 3$ ，求 $\frac{1}{x^{3}} + x^{3}$ 的值．

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