阅读理解题—广东省（人教版）八（上）数学期末复习

试卷更新日期：2024-12-29 类型：复习试卷

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一、三角形

1. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)、根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD；

(2)、如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，
∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明.

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二、整式

2. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的多项式变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如： $x^{2} + 4 x - 5 = x^{2} + 2 \times 2 x + 2^{2} - 2^{2} - 5 = {(x + 2)}^{2} - 9 = (x + 2 + 3) (x + 2 - 3) = (x + 5) (x - 1)$ ．
即： $x^{2} + 4 x - 5 = (x + 5) (x - 1)$ ．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、因式分解： $x^{2} - 2 x - 15$ ；

(2)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} - 10 a - 12 b + 61 = 0$ ，求 $△ A B C$ 的最长边 $c$ 的取值范围；

(3)、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 50 = 6 a + 8 b + 10 c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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3. 阅读材料：要将多项式 $a m + a n + b m + b n$ 分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到 $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n) = a (m + n) + b (m + n)$ ，这时 $a (m + n) + b (m + n)$ 中又有公因式 $(m + n)$ ，于是可以提出 $(m + n)$ ，即 $a m + a n + b m + b n = (a m + a n) + (b m + b n) = a (m + n) + b (m + n) = (m + n) (a + b)$ ，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：

(1)、解决问题：分解因式 $a c - b c + a^{2} - b^{2}$ ．

(2)、拓展运用：已知a ， b ， c是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - a b + c^{2} - 2 a c + b c = 0$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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4. 【阅读材料】
观察下列式子：
① $1 \times 4 + 2 = 2 \times 3$ ；
② $2 \times 5 + 2 = 3 \times 4$ ；
③ $3 \times 6 + 2 = 4 \times 5$ ；
④ $4 \times 7 + 2 = 5 \times 6$ ；
根据上面材料回答以下问题：

(1)、根据阅读材料猜想：式子⑥： $6 \times 9 + 2 =$ （） $\times$ （）

(2)、探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论．

(3)、应用你发现的规律计算： $\frac{(2 \times 5 + 2) (4 \times 7 + 2) (6 \times 9 + 2) \dots (2022 \times 2025 + 2)}{(1 \times 4 + 2) (3 \times 6 + 2) (5 \times 8 + 2) \dots (2021 \times 2024 + 2)}$

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5. 阅读材料：把形 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ．请根据阅读材料解决下列问题：

(1)、填空： $a^{2} - 4 a + 4 =$ ．

(2)、先化简，再求值： $(a + b) (a - b) + (2 a^{3} b - 4 a b^{3}) \div 2 a b$ ，其中 $a 、 b$ 满足 $a^{2} + 2 a + b^{2} - 6 b + 10 = 0$ ．

(3)、若 $a 、 b 、 c$ 分别是 $Δ A B C$ 的三边，且 $a^{2} + 4 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 6 b - 2 c + 4 = 0$ ，试判断 $Δ A B C$ 的形状，并说明理由．

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6. 下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务.

在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小林同学用“换元法”对多项式 $(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4$ 进行因式分解的过程.

解：设 $x^{2} - 2 x = y$ .

原式 $= (y - 1) (y + 3) + 4$

$= y^{2} + 2 y + 1$

$= (y + 1)^{2}$

$= {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$

任务：（1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：____.

(1)、由平方的非负性可知

(x^{2} - 2 x - 1) (x^{2} - 2 x + 3) + 4

有最小值，则最小值为.

(2)、请你用“换元法”对多项式

(x^{2} + 6 x) (x^{2} + 6 x + 18) + 81

进行因式分解.

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7. 阅读材料，解决问题
【材料 $1$ 】教材中这样写道：“我们把多项式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 及 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式 $x^{2} + 2 x - 3$ ．
原式 $= x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$ ．
【材料 $2$ 】因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1$
解：把 $x + y$ 看成一个整体，令 $x + y = A$ ，则
原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2}$ ，再将 $A = x + y$ 重新代入，得：原式 $= {(x + y + 1)}^{2}$
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：

(1)、根据材料 $1$ ，利用配方法进行因式分解： $x^{2} - 6 x + 8$ ；

(2)、根据材料 $2$ ，利用“整体思想”进行因式分解： ${(x - y)}^{2} - 4 (x - y) + 4$ ；

(3)、当 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三边时，且满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 4 a - 6 b - 4 c + 17 = 0$ 时，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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8. 【阅读理解】
若x满足 $(5 - x) (x - 2) = 2$ ，求 $(5 - x)^{2} + (x - 2)^{2}$ 的值．
解：设 $5 - x = a, x - 2 = b$ ，
则 $(5 - x) (x - 2) = a b = 2, a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3$ ，
$∴ (5 - x)^{2} + (x - 2)^{2} = a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b = 3^{2} - 2 \times 2 = 5$ ．
【解决问题】

(1)、若x满足 $(7 - x) (x - 3) = 3$ ，则 $(7 - x)^{2} + (x - 3)^{2} =$ ；

(2)、若x满足 $(x + 1)^{2} + (x - 3)^{2} = 26$ ，求 $(x + 1) (x - 3)$ 的值；

(3)、如图，已知正方形AEMG被分割成4个部分，其中四边形CDEF与BCNG为正方形。若 $A B = x, A D = x + 1$ ，四边形ABCD的面积为5，求正方形AEMG的面积．

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三、分式

9. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3}$ ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式； $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 3}{x + 1} = \frac{x^{2} - 1 + 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{4}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{2 x}$ 是分式(填“真”或“假”)；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x + 2}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值．

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10. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数 $.$ 如： $\frac{8}{3} = \frac{6 + 2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2 \frac{2}{3} .$ 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式” $.$ 如 $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x + 1}$ 这样的分式就是假分式； $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式 $.$ 类似地，假分式也可以化为带分式 $($ 即：整式与真分式的和的形式 $)$ ．
如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2} + 3}{x + 1} = \frac{x^{2} - 1 + 4}{x + 1} = \frac{(x + 1) (x - 1) + 4}{x + 1} = x - 1 + \frac{4}{x + 1}$ ；
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{1}{2 x}$ 是分式 $($ 填“真”或“假” $)$ ；

(2)、将假分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ 化为带分式；

(3)、如果 $x$ 为整数，分式 $\frac{2 x^{2} - 3 x - 1}{x + 2}$ 的值为整数，求所有符合条件的 $x$ 的值．

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11. 阅读下列解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = $\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1}$ = $\frac{1}{3}$ ，知x≠0，∴ $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即x+ $\frac{1}{x}$ =3．
∴ $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2$ ＝3²﹣2＝7，∴ $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ = $\frac{1}{7}$ ．
以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ = $\frac{1}{7}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ 的值；

(2)、已知 $\frac{x y}{x + y}$ =2， $\frac{y z}{y + z}$ = $\frac{4}{3}$ ， $\frac{x z}{x + z}$ = $\frac{4}{3}$ ，求 $\frac{x y z}{x y + y z + z x}$ 的值．

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