《轴对称与等腰三角形》精选压轴题—广东省（人教版）八（上）期末复习

试卷更新日期：2024-12-29 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 长为3，面积是12，腰 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交边 $A C$ ， $A B$ 于点E，F.若 $D$ 为 $B C$ 边的中点， $M$ 为线段 $E F$ 上的一动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为（）

A、4 B、9.5 C、12.5 D、16

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2. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，在等边三角形 $△ A B C$ 中，E为AB上一点，过点E的直线交AC于点F ，交BC延长线于点D ，作 $E G ⊥ A C$ 垂足为G ，如 $A E = C D, A B = a$ ，则GF的长为（）

A、 $\frac{1}{3} a$ B、 $\frac{2}{3} a$ C、 $\frac{1}{2} a$ D、 $\frac{3}{4} a$

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6. 已知，如图长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3 c m ， A D = 9 c m$ ，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 $E F$ ，则 $△ A B E$ 的面积为（　　）

A、3 $c m^{2}$ B、4 $c m^{2}$ C、6 $c m^{2}$ D、 $12$ $c m^{2}$

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， $B P = A Q = 4$ ， $Q D = 3$ ，在BD上有一动点E，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是．

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9. 如图，把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中∠A=30°，∠E=45°，A，D，B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论：①∠MBN＝45°；②∠BNE＝∠BMC；③∠EBN＝65°；④AM=BM.其中正确结论的序号是.

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10. 如图，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，分别以点A和点B为圆心以相同的长（大于 $\frac{1}{2} A B$ ）为半径作弧，两弧相交于M和N点，作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点D，交 $B C$ 于点E，若 $B C = 4$ ，则 $B E$ 等于．

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交 $A C 、 A B$ 于点D、E ，连接 $B D$ ．若 $C D = 1$ ，则 $A D$ 的长为．

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12. 如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $A B$ 长为4，面积为12， $B C$ 边的垂直平分线 $M N$ 分别交 $B C$ ， $A C$ 于点M，N，若点D为 $A B$ 的中点，点P为线段 $M N$ 上一动点，则 $△ P B D$ 的周长的最小值．

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13. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．

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14. 如图， $∠ A O B = 30 °$ ， M，N分别为射线 $O A$ ， $O B$ 上的动点，P为 $∠ A O B$ 内一点，连接 $P M$ ， $P N$ ， $M N$ ．当 $△ P M N$ 周长取得最小值时，则 $∠ M P N$ 的度数为．

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15. 如图，已知 $∠ A = 30 °$ ，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当BD+CD最短时， $∠ A B D$ 的度数是．

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16. 如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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三、解答题

17. 在等边 $△ A B C$ 的顶点 $A$ ， $C$ 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 $A$ 向 $B$ 和由 $C$ 向 $A$ 爬行，经过 $t$ 分钟后，它们分别爬行到 $D$ ， $E$ 处，请问：

(1)、如图1，爬行过程中， $C D$ 和 $B E$ 的数量关系是；

(2)、如图2，当蜗牛们分别爬行到线段 $A B$ ， $C A$ 的延长线上的 $D$ ， $E$ 处时，若 $E B$ 的延长线与 $C D$ 交于点 $Q$ ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中 $∠ C Q E$ 的大小将会保持不变，请你证明： $∠ C Q E = 60 °$ ；

(3)、如图3，如果将原题中“由 $C$ 向 $A$ 爬行”改为“沿着线段 $B C$ 的延长线爬行，连接 $D E$ 交 $A C$ 于 $F$ ”，其他条件不变，求证： $D F = E F$ ．

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18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．

(1)、试说明△CEF是等腰三角形；

(2)、若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若CF＝2，求△ABE的面积．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 16 c m$ ， $B C = 12 c m$ ， $A C = 20 c m$ ， P、Q是 $△ A B C$ 边上的两个动点，其中点P从点A开始沿 $A \to B$ 方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿 $B \to C \to A$ 方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)、 $B P$ ＝（用t的代数式表示）

(2)、当点Q在边 $B C$ 上运动时，出发几秒后， $△ P Q B$ 是等腰三角形？

(3)、当点Q在边 $C A$ 上运动时，出发秒后， $△ B C Q$ 是以 $B C$ 或 $B Q$ 为底边的等腰三角形？

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20. 在等边 $△ A B C$ 中，点D为射线 $C B$ 上（点B、点C除外）一动点，过点D作 $△ A D C$ 的高 $D H$ ，延长 $A H$ 至点E，使 $H E = H A$ ．

(1)、如图1，当点D是 $B C$ 的中点时，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2，当点D在线段 $B C$ 上移动时，过点D作 $D F ∥ A C$ 交直线 $A B$ 于点F，则 $△ A F D$ 与 $△ D C E$ 是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．

(3)、若等边 $△ A B C$ 的边长为4，当 $B D = a$ 时，求 $A E$ 的长．

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21. 如图，点 $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $D$ 是 $△ A B C$ 外的一点， $∠ A O B = 110 °$ ， $∠ B O C = α$ ， $△ B O C$ ≌ $△ A D C$ ， $∠ O C D = 60 °$ ，连接 $O D$ ．

(1)、求证： $△ O C D$ 是等边三角形；

(2)、当 $α = 150 °$ 时，试判断 $△ A O D$ 的形状，并说明理由；

(3)、探究：当 $α$ 为多少度时， $△ A O D$ 是等腰三角形．

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22. 通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题．
例如：若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值.
解： $∵$ $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，
$∴ (a + b)^{2} = 9$ ， $2 a b = 2$ .
$∴ a^{2} + b^{2} + 2 a b = 9$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ .
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：

(1)、若 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，则 $(a - b)^{2} =$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ ，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为直角边向 $△ A B C$ 两侧作等腰直角 $△ A B E$ 和等腰直角 $△ A C D$ ，其中 $∠ B A E = ∠ C A D = 90 °$ ．
①如图1，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $△ A B C$ 的面积为 $12$ ， $△ A B E$ 和 $△ A C D$ 的面积之和为26，求线段 $C E$ 的长；
②如图2，若 $D C$ 与 $B C$ 在同一直线上，连接 $C E$ ，延长 $D A$ 与 $C E$ 交于点 $F$ ，连接 $B F$ 并延长 $B F$ 与边 $A E$ 交于点 $G$ ，且 $A F = A G$ ，若 $△ A B E$ 和 $△ A C D$ 的面积之和为20， $△ A B G$ 的面积为6，求线段 $E G$ 的长．

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