2025高考一轮复习（人教A版）第十六讲三角函数的应用

试卷更新日期：2024-12-27 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2 A C = 2$ .点 $D$ 是边 $B C$ 上靠近 $C$ 的三等分点. $A D$ 的长等于边 $A B$ 上的高，则 $t a n A =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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2. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要 $30 m i n$ .已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度 $H (m)$ 关于时间 $t$ （min）的函数关系式为 $H = 65 - 50 c o s \frac{π}{15} t (0 \leq t \leq 30)$ 若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（）

A、 $25 \sqrt{3} m$ B、 $50 m$ C、 $25 (\sqrt{3} - 1) m$ D、 $25 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) m$

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3. 位于登封市告成镇的观星台相当于一个测量日影的圭表．圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图是一个根据郑州市的地理位置设计的圭表的示意图，已知郑州市冬至正午太阳高度角（即 $∠ A B C$ ）约为32.5°，夏至正午太阳高度角（即 $∠ A D C$ ）约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即 $D B$ 的长）为14米，则表高（即 $A C$ 的长）约为（）（其中 $t a n 32.5 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $t a n 79.5 ° \approx \frac{27}{5}$ ）

A、9.27米 B、9.33米 C、9.45米 D、9.51米

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4. “寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法，其具体方法是在同一天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长，并根据“日影差一寸，实地相距千里”的原则推算两地距离．如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A，B两地竖起高度均为a寸的标杆 $A E$ 与 $B F$ ， $A C$ 与 $B D$ 分别为标杆 $A E$ 与 $B F$ 在地面的影长，再按影长 $A C$ 与 $B D$ 的差结合“寸影千里”来推算A，B两地的距离．记 $∠ C E A = α ， ∠ B D F = β (β < \frac{π}{2} - α)$ ，则按照“寸影千里”的原则，A，B两地的距离大约为（）

A、 $\frac{1000 a s i n (α + β)}{s i n α s i n β}$ 里 B、 $\frac{1000 a s i n (α + β)}{s i n α c o s β}$ 里 C、 $\frac{1000 a c o s (α + β)}{s i n β c o s α}$ 里 D、 $\frac{1000 a c o s (α + β)}{c o s α c o s β}$ 里

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5. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得 $∠ D A C = 30 °$ ， $∠ D B C = 60 °$ ， $A B = 14$ 米，则岳阳楼的高度CD为（）

A、 $6 \sqrt{3}$ 米 B、 $7 \sqrt{3}$ 米 C、 $8 \sqrt{3}$ 米 D、 $9 \sqrt{3}$ 米

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6. 2022年春节期间，G市某天从8~16时的温度变化曲线（如图）近似满足函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} c o s (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ， $x \in [8 ， 16]$ ）的图像．下列说法正确的是（）

A、8～13时这段时间温度逐渐升高 B、8～16时最大温差不超过5℃ C、8～16时0℃以下的时长恰为3小时 D、16时温度为−2℃

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) + 1 (ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = - 1$ 相邻两个交点的距离为 $π$ ，若 $\forall x \in (- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}) ， f (x) > 1$ 恒成立，则 $φ$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ C、 $[\frac{π}{12} ， \frac{π}{2}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$

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8. 筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 $8 m$ 的筒车按逆时针方向做 $4 m i n$ 一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为 $4 \sqrt{3} m$ ，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位： $m i n$ ），则下列说法正确的是( )
① $t = 1 m i n$ 时，盛水筒P到水面的距离为 $4 + 4 \sqrt{3} m$ ；
② $t = \frac{4}{3} m i n$ 与 $t = 2 m i n$ 时，盛水筒P到水面的距离相等；
③经过 $34 m i n$ ，盛水筒P共8次经过筒车最高点；
④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q ，则P ， Q到水面的距离差的最大值为 $4 \sqrt{3} m$ ．

A、①② B、②③ C、①③④ D、①②④

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二、多项选择题

9. 2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A, ω \in N^{*}, | φ | < \frac{π}{3})$ 的图像，而破碎的涌潮的图像近似 $f^{'} (x)$ （ $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数）的图像．已知当 $x = 2 π$ 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (\frac{π}{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ C、 $f^{'} (x - \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f^{'} (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 上单调

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10. 如图，摩天轮的半径为50米，摩天轮的中心 $O$ 点距离地面的高度为55米，摩天轮匀速逆时针旋转，每24分钟转一圈，摩天轮上点 $P$ 的起始位置在最高点处，下列结论正确的是( )

A、经过12分钟，点 $P$ 首次到达最低点 B、第16分钟和第32分钟点 $P$ 距离地面一样高 C、从第28分钟至第40分钟点 $P$ 距离地面的高度一直在降低 D、摩天轮在旋转一周的过程中，点 $P$ 有8分钟距离地面的高度不低于80米

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11. 在新农村建设中，某村准备将如图所示的 $∠ B A C$ 内区域规划为村民休闲中心，其中 $∠ C A D$ 区域设计为人工湖（点D在 $∠ B A C$ 的内部）， $∠ D A B$ 区域则设计为公园，种植各类花草.现打算在 $A C$ ， $A B$ 上分别选一处E ， F ，修建一条贯穿两区域的直路 $E F$ ，供汽车通过，设 $A D$ 与直路 $E F$ 的交点为P ，现已知 $A B = A C = 400$ 米， $∠ B A C = \frac{2 π}{3}$ ， $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ， $A P = 200$ 米， $P E$ ， $P F$ 段的修路成本分别为100万元/百米，50万元/百米，设 $∠ A F P = α$ ，修路总费用为关于 $α$ 的函数 $S (α)$ ，（单位万元），则下列说法正确的是（）

A、 $P E = \frac{100}{c o s (\frac{π}{6} + α)}$ 米 B、 $S (α) = \frac{100}{s i n (\frac{π}{6} + α)} + \frac{100}{s i n α} (0 < α < \frac{π}{3})$ C、修路总费用最少要400万元 D、当修路总费用最少时， $P F$ 长为400米

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = m s i n \frac{1}{2} x + m c o s \frac{1}{2} x - \sqrt{2} s i n x + 3 \sqrt{2}$ 在 $x \in [0, 2 π]$ 上恰有两个零点，则实数m的取值范围为.

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13. 如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心 $O$ 距离地面 $40.5$ 米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮并开始计时，当你第4次距离地面 $60.5$ 米时所用时间为分钟.

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14. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的切始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，t分钟时，该盛水筒距水面距离为 $H = f (t) = A \sin (ω t + φ) + b$ $(A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}, t \geq 0)$ ，则 $H = f (t) =$

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四、解答题

15. 一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

(2)、在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？

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16. 如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区 $($ 如矩形 $A B C D$ 所示 $)$ ，其中 $O$ 为生活区入口 $.$ 已知有三条路 $A B$ ， $B C$ ， $A D$ ，路 $A D$ 上有一个观赏塘 $T$ ，其中 $A T = 300 m$ ，路 $B C$ 上有一个风雨走廊的入口 $L$ ，其中 $B L = 200 m .$ 现要修建两条路 $O T$ ， $O L$ ，修建 $O T$ ， $O L$ 费用成本分别为 $2 λ / m$ ， $3 λ / m .$ 设 $∠ T O A = α$ ．

(1)、当 $A O = 600 m$ ， $B O = 200 m$ 时，求张角 $∠ T O L$ 的正切值；

(2)、当 $O T ⊥ O L$ 时，求当 $α$ 取多少时，修建 $O T$ ， $O L$ 的总费用最少，并求出此时总费用．

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17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 $130 m$ ，转盘直径为 $110 m$ ，设置有 $48$ 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 $30 m i n$ ．

(1)、游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 $t m i n$ 后距离地面的高度为 $H m$ ，求在转动一周的过程中， $H$ 关于 $t$ 的函数解析式；

(2)、证明： $c o s θ - c o s φ = - 2 s i n \frac{θ + φ}{2} s i n \frac{θ - φ}{2}$ ；

(3)、若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 $h$ （单位： $m$ ）关于 $t$ 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到 $0.1$ ）．（参考数据： $s i n \frac{π}{48} \approx 0.065$ ）

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18. 在校园美化、改造活动中，要在半径为 $30 m$ 、圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形空地 $E O F$ 的内部修建一矩形观赛场地 $A B C D$ ，如图所示．取 $C D$ 的中点M ，记 $∠ M O C = θ$ ．

(1)、写出矩形 $A B C D$ 的面积S与角 $θ$ 的函数关系式；

(2)、求当角 $θ$ 为何值时，矩形 $A B C D$ 的面积最大？并求出最大面积．

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19. 已知一个半径为 $3.2$ 米的水轮如图所示，水轮圆心 $O$ 距离水面 $1.6$ 米，且按顺时针方向匀速转动，每 $45$ 秒转动一圈.如果以水轮上点 $P$ 从水面浮现时（图中点 $P_{0}$ 位置）开始计时，记点 $P$ 距离水面的高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 距离水面高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式；

(2)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 在水面下方的时间段.

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2025高考一轮复习（人教A版）第十六讲 三角函数的应用

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

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