甘肃省张掖市甘州区2023－2024学年下学期八年级数学期中试卷

试卷更新日期：2024-12-09 类型：期中考试

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（）．

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a < b$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $a + 2 > b + 2$ B、 $- 2 a < - 2 b$ C、 $3 a > 3 b$ D、 $1 - a > 1 - b$

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3. 已知等腰三角形的一个内角为 $80 °$ ，则这个等腰三角形的顶角为（）

A、 $80 °$ B、 $50 °$ C、 $80 °$ 或 $50 °$ D、 $80 °$ 或 $20 °$

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4. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　）

A、如果 $a > b$ ， $b < 0$ ，则 $a - b > 0$ B、两直线平行，同旁内角互补 C、四边形是多边形 D、若 $a > 0$ ，则 $|a| = a$

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5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=1，则AB的长是（　　）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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6. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）

A、7 B、8 C、9 D、10

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7. 不等式 $6 - 2 x < 0$ 的解集在数轴上表示为（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 若二次三项式 $4 x^{2} + m x y + 9 y^{2}$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的可能值是（）

A、±6 B、12 C、6 D、±12

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9. 如图，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $80 °$ ，得到 $△ O C D$ ，若 $∠ A = 2 ∠ D = 100 °$ ，则 $∠ α$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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10. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + 4$ 与 $y_{2} = x + b$ 的图象相交于点 $P (1, 3)$ ，则关于x的不等式 $x + b \leq k x + 4$ 的解集是（　　）

A、 $x \geq 3$ B、 $x \leq 3$ C、 $x \geq 1$ D、 $x \leq 1$

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二、填空题（每题4分，共32分）

11. 分解因式： $a^{3} - 4 a$ =。

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12. 在平面直角坐标系中，把点 $A (2, 3)$ 向左平移一个单位，向下平移4个单位得到点 $A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为：．

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13. 一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是．

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14. 已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜ $\frac{2}{1 - a}$ ，则a的取值范围是.

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15. 已知 $a + b = 3$ ， $a b = - 4$ ，则 $a^{2} b + a b^{2}$ 的值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条角平分线．若 $C D = 3$ ，则 $△ A B D$ 的面积为．

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17. 如图，将 $△ A B E$ 向右平移 $2 cm$ 得到 $△ D C F$ ，如果 $△ A B E$ 的周长是 $16 cm$ ，那么四边形 $A B F D$ 的周长是 $cm$ ．

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18. 如图，在锐角三角形ABC中，直线PL为BC的垂直平分线，射线BM为∠ABC的平分线，PL与BM相交于P点．若∠PBC＝30°，∠ACP＝20°，则∠A的度数为．

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三、解答题

19. 解不等式

(1)、 $4 x + 5 \geq 6 x - 3$

(2)、 $\frac{x - 3}{2} - 1 > \frac{x - 5}{3}$

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20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
$\{\begin{matrix} 2 x + 5 \leq 3 (x + 2) \\ \frac{x - 1}{2} < \frac{x}{3} \end{matrix}$

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21. 分解因式

(1)、 $a (x - 3) - 2 b (3 - x)$

(2)、 $x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{3}$

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22. 利用因式分解计算：

(1)、 $2^{2024} - 2^{2023}$

(2)、已知：x+y=1，求 $\frac{1}{2} x^{2} + x y + \frac{1}{2} y^{2}$ 的值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中， $Rt △ A B C$ 的顶点都在格点上，点 $A$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

(1)、将 $Rt △ A B C$ 先向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请在图中画出 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标．

(2)、再将 $Rt △ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，绕点 $A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $Rt △ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请在图中画出 $Rt △ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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24. 在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，垂足分别为E、F，且 $D E = D F$ ．求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

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25. 为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．

(1)、若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？

(2)、若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？

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26. 如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，延长 $A C$ 至点 $E$ ，使 $C E = B D$ ．连接 $D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，求证： $D F = E F$ ．

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27. （1）问题发现：如图1， $Δ A B C$ 和 $Δ A D E$ 均为等边三角形，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，连接 $C E$ ，求证： $Δ A B D ≅ Δ A C E$ ．

（2）类比探究：如图2， $Δ A B C$ 和 $Δ A D E$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $D$ 点在边 $B C$ 的延长线上，连接 $C E$ ．请判断：① $∠ A C E$ 的度数为_________．②线段 $B C, C D, C E$ 之间的数量关系是_________．
（3）问题解决：在（2）中，如果 $A B = A C = \sqrt{2}, C D = 1$ ，求线段 $D E$ 的长．

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