广西壮族自治区来宾市2025届高三第一次教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2024-10-27 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设 $z = \frac{2}{i - 1}$ ，则z的共轭复数为（）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 已知集合 $A = \{0, 2, 4, 6\}, B = \{x ∣ 0 < 3^{x} \leq 81\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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3. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, (\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、1

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4. 某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
成绩
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
5
25
30
20
10
10
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、100名学生成绩的极差为60分 B、100名学生成绩的中位数大于70分 C、100名学生成绩的平均数大于60分 D、100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过 $80 %$

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5. 一动圆与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 外切，同时与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 60 = 0$ 内切，则动圆圆心的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{21} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{21} = 1$

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6. 圆锥的顶点为 $S, A B$ 为底面直径，若 $A B = 2, ∠ A S B = \frac{π}{3}$ ，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$

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7. 设函数 $f (x) = a {(e^{x} + e^{- x})}^{2}, g (x) = 4 x^{2} + 2 (a - 1)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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8. 黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为 $a_{1}, a_{2}$ ，且 $a_{1} \neq a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当且仅当 $a_{1} > a_{2}$ 时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B、当且仅当 $a_{1} > a_{2}$ 时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C、无论 $a_{1}, a_{2}$ 的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D、无论 $a_{1}, a_{2}$ 的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 下列函数中，对称中心为 $(1, 0)$ 的有（）

A、 $y = sinπ x$ B、 $y = cos (x - 1)$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ D、 $y = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$

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10. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l : x = t y + 1$ ，若 $C$ 与 $l$ 交于 $A, B$ 两点， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $p = 2$ B、 $|A F| = 3$ C、 $t = 2 \sqrt{2}$ 或 $- 2 \sqrt{2}$ D、线段 $A B$ 中点的横坐标为 $\frac{5}{4}$

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11. 下列关于函数 $f (x) = x - x ln x$ 的说法，正确的有（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、函数 $\dot{f} (x)$ 有两个零点 C、若方程 $f (x) = m$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > e$ D、若方程 $f (x) = m$ 有两根 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} < e$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 甲､乙､丙三名工人加工同一型号的零件，甲加工的正品率为 $90 %$ ，乙加工的正品率为 $80 %$ ，丙加工的正品率为 $85 %$ ，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙加工的零件数相同，丙加工的零件数占总数的 $40 %$ .现任取一个零件，则它是正品的概率为.

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，若双曲线的左支上一点 $P$ 满足 $\frac{sin ∠ P F_{1} F_{2}}{sin ∠ P F_{2} F_{1}} = 3$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $F_{1} P$ 的延长线相切于点 $M$ ，且 $\vec{F_{1} M} = 3 \vec{F_{1} P}$ ，则双曲线的离心率为.

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14. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = |x - \frac{a}{x}| (x > 0)$ .若曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = 2$ 交于 $A, B$ 两点，设 $A, B$ 的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，写出 $x_{1}, x_{2}$ 与 $a$ 的一个关系式：；分别过点 $A, B$ 作 $x$ 轴的垂线段 $A A_{1}, B B_{1}$ ，垂足分别为 $A_{1}, B_{1}$ ，则四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 的面积为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\frac{1 + tan A}{1 - tan A} = 2 + \sqrt{3}$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $c = 3$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：

男
女
合计
了解

20

不了解
20

40
合计

(1)、将列联表补充完整；

(2)、根据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？

(3)、若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B_{1} C$ 为正三角形，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 为菱形.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、若 $A C = B C = 4$ ，且 $A C ⊥ B C, E$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，点 $(a_{n}, a_{n + 1})$ 在直线 $y = 3 x + 1$ 上.

(1)、设 $b_{n} = a_{n} + \frac{1}{2}$ ，证明 $\{b_{n}\}$ 为等比数列：

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{2}$ .

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19. 已知：①定积分的定义：
设 $y = f (x)$ 为定义在 $[a, b]$ 上的连续非负函数，为求 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，可采取如下方法：
将区间 $[a, b]$ 分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $\frac{b - a}{n}$ ，每个区间即可表示为 $[a + \frac{b - a}{n} (i - 1), a + \frac{b - a}{n} i] (i = 1, 2, 3, \dots n)$ ，再分别过每个区间的左右端点作 $x$ 轴的垂线与 $y = f (x)$ 图象相交，即可得到一个小的曲边梯形.如图，
当 $n \to + \infty$ 时，每个小曲边梯形可近似看作矩形，矩形的宽即为每个小区间的长度，长可由每个小区间内的任一点的函数值近似代替（一般用区间端点的函数值），将这样无穷多个小矩形的面积相加，所得之和即为所求的由 $y = f (x) ､ x = a ､ x = b ､ x$ 轴围成的曲边梯形的面积，即 $S = \lim_{n \to \infty} [\sum_{i = 1}^{n} f (a + \frac{b - a}{n} i) \cdot \frac{b - a}{n}]$ ，上式也记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ，即对 $y = f (x)$ 在 $[a, b]$ 上求定积分.
②定积分的计算： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ 其中 $F^{'} (x) = f (x)$ .
根据以上信息，回答以下问题：

(1)、已知 $0 < α < \frac{π}{2}$ ，求证： $\int_{0}^{α} \cos x d x < α$ .

(2)、将 $x = 1 、 x = 2 、 y = \frac{1}{x} 、 x$ 轴围成的图形面积分别表示为定积分的形式与面积和的极限形式，并求其值；

(3)、试证明： $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{200} < ln 2 < \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \dots + \frac{1}{199}$ .

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成绩	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	5	25	30	20	10	10

$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	男	女	合计
了解		20
不了解	20		40
合计