2025高考一轮复习（人教A版）第四十讲等比数列

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，则 $a_{n} =$ （　　）

A、 $2 \cdot 3^{n - 1} + 1$ B、 $3^{n - 1} - 1$ C、 $2 \cdot 3^{n - 1} - 1$ D、 $2 \cdot 3^{n} + 1$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} a_{3} a_{13} = 8$ ，则 $a_{4} a_{8} =$ （）．

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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3. 记等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} a_{2} a_{3} = 27, a_{5} = 81$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、121 B、63 C、40 D、31

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} + S_{24} = 140$ ，且 $S_{24} = 13 S_{8}$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、40 B、-30 C、30 D、-30或40

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5. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则 $\frac{a_{6} + a_{9}}{a_{3} + a_{6}} =$ （）

A、4 B、8 C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6. 为了更好地解决就业问题，在国家鼓励政策下，某摊主 $2024$ 年 $4$ 月初向银行借了免息贷款 $8000$ 元，用于进货，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的 $20 %$ ，每月底扣除生活费 $800$ 元，余款作为资金全部用于下月再进货.如此继续，该摊主预计在 $2025$ 年 $3$ 月底还贷款，至此，他的收入约为（）（取 ${(1.2)}^{11} \approx 7.5$ ， ${(1.2)}^{12} \approx 9$ ）

A、 $24000$ 元 B、 $26000$ 元 C、 $30000$ 元 D、 $32000$ 元

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7. 已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = 2 f (x) + 1$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f (100) =$ （）

A、 $2^{100} - 1$ B、 $2^{100} + 1$ C、 $2^{101} - 1$ D、 $2^{101} + 1$

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8. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \{\begin{cases} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ 2 a_{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $3 \times 2^{51} - 156$ B、 $3 \times 2^{51} - 103$ C、 $3 \times 2^{50} - 156$ D、 $3 \times 2^{50} - 103$

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二、多项选择题

9. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比为 $q$ ，若存在无穷多个不同的 $n$ ，满足 $a_{n + 2} \leq a_{n} \leq a_{n + 1}$ ，则下列选项之中，可能成立的有（）

A、 $q > 0$ B、 $q < 0$ C、 $| q | > 1$ D、 $| q | < 1$

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10. 已知 $n, m \in N^{*}$ ，将数列 ${4 n + 1}$ 与数列 ${5^{m}}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{n} = 5 n$ B、 $a_{n} = 5^{n}$ C、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $\frac{5 (5^{n} - 1)}{4}$ D、 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{5 (2 5^{n} - 1)}{24}$

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11. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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12. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} + a_{3} = 5, a_{4} + a_{6} = 135$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{4}$ B、 $q = 3$ C、 $a_{n} = \frac{1}{4} \times 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = \frac{1}{4} (3^{n} - 1)$

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三、填空题

13. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - 15 \times {(\frac{1}{2})}^{n} + t$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为．

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14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2, a_{11} = 8$ ，则 $a_{7} =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 2)}}$ 的前100项和 $T_{100} =$ ．

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四、解答题

16. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $S_{n} = a_{n + 1} - 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数， \\ \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 2}}, n 为偶数， \end{array}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $b_{1} = - 2$ ， ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列，数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 是公比为2的等比数列.

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = 5 a_{n} - 2$ ．

(1)、证明： ${a_{n}}$ 是等比数列，并求其通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (- 1)^{n} \cdot l o g_{5} \frac{a_{2 n + 2}}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $a_{1} = 1, S_{2} = a_{3} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = {\begin{array}{l} k, n = a_{k} \\ b_{n - 1} + 2 k, a_{k} < n < a_{k + 1} \end{array}$ ， $k \in N *, k \geq 2$ ．
（ⅰ）当 $k \geq 2, n = a_{k + 1}$ 时，求证： $b_{n - 1} \geq a_{k} \cdot b_{n}$ ；
（ⅱ）求 $\sum_{i = 1}^{S_{n}} b_{i}$ ．

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一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

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