2025高考一轮复习（人教A版）第三十九讲等差数列

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{4} = 16$ ，且 $a_{3}, 10, \frac{a_{6}}{2}$ 成等差数列，则 $a_{1} + a_{4} + a_{7} =$ （）

A、157 B、156 C、74 D、73

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2. 已知递增数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n + 2} - a_{n + 1} (n \in N *)$ ．若 $a_{4} + a_{10} = 14$ ， $a_{2} \cdot a_{12} = 24$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2023项和为（）

A、2044242 B、2045253 C、2046264 D、2047276

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 9$ ， $S_{9} = 18$ ，则 $S_{12} =$ （）

A、18 B、21 C、24 D、27

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4. 据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾” $a$ 、“股” $b$ 与“弦” $c$ 之间的关系为 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ （其中 $a \leq b$ ）．当 $a, b, c \in N^{*}$ 时，有如下勾股弦数组序列： $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25)$ ， $(9, 40, 41), ⋯$ ，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（）

A、145 B、181 C、221 D、265

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5. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{1} = 5$ ， $S_{5} = 15$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 中（）

A、有最大项，无最小项 B、有最小项，无最大项 C、有最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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6. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} - a_{2} = 6$ ，若直线l过点 $M (m, a_{m})$ ， $N (n, a_{n}) (m \neq n, m, n \in N^{*})$ ，则直线l的斜率为（）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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7. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{2 a_{6}}{b_{2} + b_{10}}$ （）

A、 $\frac{111}{13}$ B、 $\frac{37}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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二、多项选择题

8. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列，若它的前 $2 m (m > 1)$ 项的和 $S_{2 m} = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $d < 0$ ，使 $a_{n} > 0$ 的最大 $n$ 的值为 $m$ B、 $S_{m}$ 是 $S_{n}$ 的最小值 C、 $3 a_{m}^{2} + a_{m + 2}^{2} = a_{m - 1}^{2} + 3 a_{m + 1}^{2}$ D、 $a_{m - 1}^{2} + a_{m}^{2} = a_{m + 1}^{2} + a_{m + 2}^{2}$

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9. 已知首项为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $(S_{15} - S_{11}) (S_{15} - S_{12}) < 0$ ，则（）

A、 $a_{13} + a_{14} > 0$ B、 $S_{11} < S_{15} < S_{12}$ C、当 $n = 14$ 时， $S_{n}$ 取最大值 D、当 $S_{n} < 0$ 时， $n$ 的最小值为27

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10. 设数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{n} - a_{n - 1} = - 4$ ， $n \in N^{*}$ 且 $a_{1} = 14$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{n} = - 4 n + 14$ B、数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列 C、当 $n = 8$ 时 $S_{n}$ 有最大值 D、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}$ ，则当 $n = 2$ 或 $n = 4$ 时数列 ${b_{n}}$ 的前n项和取最大值

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三、填空题

11. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ .则 $f (100) =$ .

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ （ $n$ 为正整数），且 $a_{2}$ 与 $a_{4}$ 的等差中项是5，则首项 $a_{1} =$ .

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四、解答题

13. 已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，且 $b_{1} = - a_{1}, b_{2} + b_{4} = - 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $C_{n} = a_{1} \cdot a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{2 n - 1}$ ，且 $C_{n} = 4096$ ，求 $n$ .

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，且 $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{2} + \frac{1}{2^{n - 1}} (n \geq 2, n \in N^{*})$ .
（1）求证：数列 $\{2^{n} a_{n}\}$ 是等差数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{3}{2} (a_{n} - 1) (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $\frac{3^{n}}{50}$ 的等差数列，求 $n$ ．

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16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} a_{3} = a_{1} a_{8}$ ， $S_{7} = - 49$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{2}{a_{n} (2 n + 1)}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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2025高考一轮复习（人教A版）第三十九讲 等差数列

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

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