2025高考一轮复习（人教A版）第三十八讲数列的概念

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

进入出卷网下载

一、选择题

1. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2$ ，则 $a_{n} =$ （　　）

A、 $2 \cdot 3^{n - 1} + 1$ B、 $3^{n - 1} - 1$ C、 $2 \cdot 3^{n - 1} - 1$ D、 $2 \cdot 3^{n} + 1$

查看试题解析
2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足点 $(n, a_{n})$ 在直线 $y = 2 x - 1$ 上，则 $a_{2} =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

查看试题解析
3. 等比数列 ${a_{n}}$ 公比为 $q (q \neq 1)$ ， $a_{1} > 0$ ，若 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），则“ $q > 1$ ”是“数列 ${T_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{2} a_{4} = 4 a_{3} + 1$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）.

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- 3, + ∞)$

查看试题解析
5. 19世纪的法国数学家卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，以他的名字命名的卢卡斯数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，若其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、 $a_{12}$ B、 $a_{12} - 1$ C、 $a_{12} - 2$ D、 $a_{12} - 3$

查看试题解析
6. 数列 $1 ， 3 ， 7 ， 13 ， 21$ …的一个通项公式是 $a_{n} =$

A、 $n^{2} - n$ B、 $n^{2} - n - 1$ C、 $n^{2} - n + 1$ D、 $n^{2} - 2 n$

查看试题解析
7. 若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$ 对任意 $x, y \in R$ 恒成立， $f (1) = 1$ ，则 $f (30) =$ （）

A、189 B、190 C、464 D、465

查看试题解析
8. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ .其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列 $\{a_{n}\}$ 称为“斐波那契数列”.记 $S_{n}$ 为“斐波那契数列” $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{2023} = a$ ， $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2024}^{2} = b$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\frac{b}{a + 1}$ B、 $\frac{b - 1}{a + 1}$ C、 $\frac{b}{2 a + 1}$ D、 $\frac{b + 1}{2 a + 1}$

查看试题解析
9. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{4}{2 - a_{n}}$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、-2 B、4 C、1 D、 $- \frac{4}{3}$

查看试题解析

二、多项选择题

10. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $\forall n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} + a_{n - 1} = a_{1} a_{n}$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{3} = 1$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $a_{n} = a_{n + 4}$ C、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $a_{n} = n + 1$ D、若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ，则 $S_{20} = 230$

查看试题解析
11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + ⋯ + 2^{n - 1} a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则（）

A、 $a_{n} = n + 1$ B、 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 ${{(- 1)}^{n} a_{n}}$ 的前100项和为100 D、 ${| a_{n} - 5 |}$ 的前30项和为357

查看试题解析
12. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{100} = 5050$ D、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = - 15 \times {(\frac{1}{2})}^{n} + t$ ，则 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ 取最大值时， $n$ 的值为．

查看试题解析
14. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 ${a_{n}}$ 是等和数列，且 $a_{1} = - 2$ ， $a_{2022} = 8$ ，则这个数列的前2022项的和为．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + … + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n + 1}{3}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} < k$ 的实数 $k$ 的最小值为．

查看试题解析

四、解答题

16. 若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $|a_{n} - a_{n + 1}| = n + 1$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ．若无穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} + 1 \geq a_{n + 2}^{2}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ．

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{1}$ ，且 $a_{1} = 0$ ，请直接写出 $a_{3}$ 的所有可能取值；

(2)、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P_{2}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，求 $a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ 的取值范围；

(3)、已知无穷数列 $\{a_{n}\}$ 同时具有性质 $P_{1}$ 和性质 $P_{2}$ ， $a_{5} = 3$ ，且 $0$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 的项，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

查看试题解析
17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 和通项 $a_{n}$ 满足 $2 S_{n} + a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）已知数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 3 a_{1}$ ， $b_{n + 1} = b_{n} + 1$ $(n \in N^{*})$ ，求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 已知 $T_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的乘积，且 $a_{1} = 3$ ， $T_{n}^{2} = a_{n}^{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > n - 1$ ．

查看试题解析
19. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ， $c_{3}$ ， …．

(1)、写出一个递推公式，表示 $c_{n + 1}$ 与 $c_{n}$ 之间的关系；

(2)、求 $S_{10} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + ⋯ + c_{10}$ 的值．（其中 $1.0 8^{9} \approx 2.00$ ， $1.0 8^{10} \approx 2.16$ ， $1.0 8^{11} \approx 2.33$ ）

查看试题解析

2025高考一轮复习（人教A版）第三十八讲 数列的概念

一、选择题

二、多项选择题

三、填空题

四、解答题

2025高考一轮复习（人教A版）第三十八讲数列的概念