2025高考一轮复习（人教A版）第三十七讲抛物线

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线交该抛物线于 $A, B$ 两点，若 $A, B$ 两点的横坐标之和为3，则 $|A B| =$ （）

A、5 B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{13}{3}$ D、4

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2. 已知点 $P$ 在抛物线 $M : y^{2} = 8 x$ 上，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，若切线长为 $2 \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 到 $M$ 的准线的距离为（）

A、5 B、6 C、7 D、 $4 \sqrt{2}$

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3. 已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，准线为 $l$ ， P是 $l$ 上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $| Q F | =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $3$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $2$

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4. 已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 4 x$ ， $C_{2} : y^{2} = 8 x$ 的焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的点，且线段 $P Q$ 平行于 $x$ 轴，则下列结论错误的是（）

A、当 $| P Q | = \frac{1}{2}$ 时， $△ F_{1} P Q$ 是直角三角形 B、当 $| P Q | = \frac{4}{3}$ 时， $△ F_{2} P Q$ 是等腰三角形 C、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是菱形 D、存在四边形 $F_{1} F_{2} P Q$ 是矩形

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5. 设抛物线 $T : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $A$ 为抛物线上一点且 $A$ 在第一象限， $|A F| = 4$ ，若将直线 $A F$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $45 °$ 得到直线 $l$ ，且直线 $l$ 与抛物线交于 $C, D$ 两点，则 $|C D| =$ （）

A、 $32 - 16 \sqrt{3}$ B、 $32 - 16 \sqrt{2}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $16 - 8 \sqrt{2}$

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6. 已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $A$ 为 $E$ 上的一点， $A F$ 垂直于 $y$ 轴， $B$ 为 $y$ 轴上一点，且 $∠ B A O = 90^{°}$ ，若 $|F B| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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二、多项选择题

7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在C上，若 $∠ M O F = 4 5^{∘}$ （O为坐标原点），则（）

A、 $x_{0} = 4$ B、 $y_{0} = 4$ C、 $| M F | = 5$ D、 $c o s ∠ O F M = \frac{3}{5}$

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8. 已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, A$ 为 $C$ 上第一象限的点，且 $|A F| = 2$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，圆 $E : x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ ，则（）

A、 $|O A| = \sqrt{5}$ B、若 $|P Q| = 6$ ，则直线 $l$ 倾斜角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $△ O P Q$ 的面积为6，则直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、过点 $A$ 作圆 $E$ 的两条切线，则两切点连线的方程为 $x - 2 y + 2 = 0$

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9. 已知点M是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的动点，当M运动到达点 $M_{0} (x_{0}, 2)$ 时， $M_{0}$ 到焦点F的距离等于5，过动点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为N，过定点 $P (2, - 1)$ 作与C有且仅有一个公共点的直线l，直线PF与C交于点A，B，则（）

A、抛物线C的方程为 $x^{2} = 12 y$ B、直线l的方程为 $x - y - 3 = 0$ 或 $x + 3 y + 1 = 0$ C、 $|A B| = 60$ D、满足 $|M N| = |M P|$ 的点M有且仅有2个

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于P ， Q ， $l_{2}$ 与C相交于M ， N ， $P Q$ 的中点为G ， $M N$ 的中点为H ，则（）

A、 $\frac{1}{| P F |} + \frac{1}{| Q F |} = 1$ B、 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| M N |} = \frac{1}{2}$ C、 $| P Q | + | M N |$ 的最大值为16 D、当 $| G H |$ 最小时，直线 $G H$ 的斜率不存在

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三、填空题

11. 已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ､ B$ 两点，若 $|B F| = 3 |A F|$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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12. 已知M是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点．若 $∠ M F O = 120^{\circ}$ ，则线段MF的长为.

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13. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值 $λ$ $(λ > 0, λ \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (- 4, 1)$ ， $B (- 4, 4)$ ，若点 $P$ 是满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ 的阿氏圆上的任意一点，点 $Q$ 为抛物线 $C : y^{2} = 16 x$ 上的动点， $Q$ 在直线 $x = - 4$ 上的射影为 $R$ ，则 $| P B | + 2 | P Q | + 2 | Q R |$ 的最小值为.

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四、解答题

14. 若 $P (2, 2)$ 为抛物线 $Γ : y^{2} = m x$ 上一点，过 $P$ 作两条关于 $x = 2$ 对称的直线分别另交 $Γ$ 于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点.

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程与焦点坐标；

(2)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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15. 已知直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $| A B | = 4 \sqrt{15}$ ．

(1)、求 $p$ ；

(2)、设F为C的焦点，M，N为C上两点， $\vec{F M} \cdot \vec{F N} = 0$ ，求 $△ M F N$ 面积的最小值．

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16. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (0 < p < 3)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P (1, 1), |P F| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $C$ 上是否存在定点 $M$ 使得 $k_{M A} + k_{M B} = 2$ （其中 $k_{M A}, k_{M B}$ 分别为直线 $M A, M B$ 的斜率）？若存在，求出 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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17. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $P (1, 2)$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、设直线 $y = k x + m$ 与 $E$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，直线 $P A$ 与 $P B$ 倾斜角互补.
（i）求 $k$ 的值；
（ii）若 $m < 3$ ，求 $△ P A B$ 面积的最大值.

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二、多项选择题

三、填空题

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