2025高考一轮复习（人教A版）第三十六讲双曲线

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, - 1), (0, 1)$ B、 $(0, - 3), (0, 3)$ C、 $(- 1, 0), (1, 0)$ D、 $(- 3, 0), (3, 0)$

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2. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ .过 $F_{2}$ 向一条渐近线作垂线，垂足为 $P$ .若 $|P F_{2}| = 2$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

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3. 直线l过双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左顶点A，斜率为 $\frac{1}{2}$ ，与双曲线的渐近线分别相交于M，N两点，且 $3 \vec{A M} = \vec{A N}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，右焦点为 $F_{2} (2, 0)$ ，点P为双曲线右支上的一点，且 $|F_{1} F_{2}| = 2 |P F_{2}|, △ P F_{1} F_{2}$ 的周长为10，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm \frac{1}{2} x$

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5. 如图，过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的左焦点 $F$ 引圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 的切线，切点为 $T$ ，延长 $F T$ 交双曲线右支于 $P$ 点，若 $M$ 为线段 $F P$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| M O | - | M T | =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $2$

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6. 已知 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两个焦点， $P$ 为双曲线上一点，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - \frac{1}{2} c^{2}$ .则此双曲线离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $(1, 2]$ C、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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7. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $E$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = | A F_{1} |$ ，且双曲线 $E$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $c o s ∠ B A F_{1} =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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8. 双曲线 $C$ ： $x^{2} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 所截得的弦长为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点，过点 $F_{2}$ 向该双曲线的一条渐近线作垂线 $P F_{2}$ ，垂足为 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{3}$

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二、多项选择题

10. 下列结论正确的有（）

A、直线 $y = 2 x$ 关于 $y = x + 1$ 对称的直线为 $x - 2 y + 3 = 0$ B、若一直线的方向向量为 $(\sqrt{3}, 3)$ ，则此直线倾斜角为60° C、若直线 $x + a y + 1 = 0$ 与直线 $x - 2 y + a = 0$ 垂直，则 $a = \frac{1}{2}$ D、双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有不同的焦点.

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11. 如图，P是椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 在第一象限的交点， $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 共焦点的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|P F_{1}| = a + m, |P F_{2}| = a - m$ B、若 $θ = 60^{\circ}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}} = 4$ C、若 $θ = 90^{\circ}$ ，则 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 的最小值为2 D、 $\tan \frac{θ}{2} = \frac{n}{b}$

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12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，实轴的左、右端点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，虚轴的上、下端点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过 $F_{1}$ 且与 $C$ 的左支交于两个不同的点， $A$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则（）

A、 $|A_{1} A_{2}| = 8$ B、四边形 $B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}$ 的周长小于24 C、 $k \in (- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ D、 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1)$ ，直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{9}{40}$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $I (4 ， 1) ， △ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆半径为 $\frac{65}{12}$ C、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $e = \sqrt{5}$ D、若 $k_{P F_{2}} = - \frac{3}{a}$ 且 $e \leq \sqrt{2}$ ，则 $|P F_{1}| \geq 5 |P F_{2}|$

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三、填空题

14. 已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且弦 $A B$ 的中点为 $M (3, \frac{3}{2})$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线C上一点．若当 $P F_{2}$ 与x轴垂直时，有 $∠ P F_{1} F_{2} = 45 °$ ，则双曲线C的离心率为．

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16. 已知双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 都经过点 $(1, 1)$ ，离心率分别记为 $e_{1}, e_{2}$ ，设双曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的渐近线分别为 $y = \pm k_{1} x$ 和 $y = \pm k_{2} x$ .若 $k_{1} k_{2} = 1$ ，则 $\frac{e_{1}}{e_{2}} =$ .

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四、解答题

17. 已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过 $A (- 2, 0)$ ， $B (- 4, 3)$ 两点．

(1)、求C的方程；

(2)、设P，M，N三点在C的右支上， $B M ∥ A P$ ， $A N ∥ B P$ ，证明：
（ⅰ）存在常数 $λ$ ，满足 $\vec{O M} + \vec{O N} = λ \vec{O P}$ ；
（ⅱ） $△ M N P$ 的面积为定值．

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交双曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积．

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19. 已知两点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为3．，动点M的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $F (2, 0)$ 作直线 $l$ 交曲线C于P、Q两点，且两点均在y轴的右侧，直线AP、BQ的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ．
①证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；
②若点Q关于x轴的对称点成点H，探究：是否存在直线l，使得 $△ P F H$ 的面积为 $\frac{9}{2}$ ，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

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20. 已知点P为圆 $C : (x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点， $A (- 2, 0),$ 线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.

(1)、求曲线H的方程；

(2)、若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 $\frac{2}{| O S |} + \frac{1}{| O T |}$ 的取值范围.

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二、多项选择题

三、填空题

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