2025高考一轮复习（人教A版）第三十四讲直线与圆、圆与圆的位置关系

试卷更新日期：2024-12-25 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 一条光线从点 $(5, 4)$ 射出，经 $x + y - 2 = 0$ 反射后与圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射光线所在直线的斜率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ 或 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$ 或 $\frac{5}{6}$

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2. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 36 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有且仅有一条公切线，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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3. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 3 x - 3 y - 1 = 0$ ，则这两圆的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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4. 已知 $A 、 B$ 是圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 3$ 上的动点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ． $P$ 是圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围是（）

A、 $[8, 12]$ B、 $[6, 10]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[6, 14]$

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5. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 上一动点P作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ （r为常数且 $r \in N^{*}$ ）的两条切线，切点分别为A，B，若 $|A B| \cdot |P C|$ 的最小值是 $4 \sqrt{3}$ ，则 $r =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 设有一组圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - k)}^{2} = k^{2} (k > 0)$ ，若圆 $C_{k}$ 上恰有两点到原点的距离为1，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 1)$ C、 $(0, \sqrt{2} + 1)$ D、 $(\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} + 2)$

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7. 圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相离 C、外切 D、内切

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8. 设圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 25 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，点 $A$ ， $B$ 分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $M$ 为直线 $y = x + 1$ 上的动点，则 $|M A| + |M B|$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 3$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2} - 3$ D、 $6 \sqrt{2} + 3$

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二、多项选择题

9. 圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A, B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x + y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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10. 已知直线 $l$ ： $m x + y - 1 - 2 m = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 有两个不同的公共点 $A$ ， $B$ ，则（）

A、直线 $l$ 过定点 $(2, 1)$ B、当 $r = 4$ 时，线段 $A B$ 长的最小值为 $2 \sqrt{11}$ C、半径 $r$ 的取值范围是 $(0, \sqrt{5}]$ D、当 $r = 4$ 时， $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 有最小值为 $- 16$

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11. 已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ ，直线 $l : m x + y + 2 m + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若圆 $C$ 关于直线 $l$ 对称，则 $m = \frac{1}{3}$ B、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于M，N两点，则 $|M N|$ 的最小值为 $4 \sqrt{6}$ C、若 $P (6, 0)$ ，动点 $Q$ 在圆 $C$ 上，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最大值为30 D、若过直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 上任意一点 $E$ 作圆 $C$ 的切线，切点为 $F$ ，则 $|E F|$ 的最小值为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

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12. 已知圆 $C_{1} : (x - 1)^{2} + (y - 2 a)^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x + 2 a y + a^{2} + 12 = 0, a \in R .$ 则下列选项正确的是( )

A、直线 $C_{1} C_{2}$ 恒过定点 $(3,0)$ B、当圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 外切时，若 $P, Q$ 分别是圆 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $| P Q |_{m a x} = 10$ C、若圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 共有 $2$ 条公切线，则 $a < \frac{4}{3}$ D、当 $a = \frac{1}{3}$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交弦的弦长为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$

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三、填空题

13. 已知与圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C_{2}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 都相切的直线有且仅有两条，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 圆 $x^{2} + y^{2} = 8$ 内有一点 $P_{0} (- 1, 2)$ ， $A B$ 为过点 $P_{0}$ 的弦.当弦 $A B$ 被点 $P_{0}$ 平分时，则直线 $A B$ 的方程为.

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15. 若函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} - k (x - 1) - 4$ 有两个零点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16. 直线 $2 x \cdot \sin θ + y = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{5} y + 2 = 0$ 截得最大弦长为．

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四、解答题

17. 已知圆C过 $A (1, - \sqrt{7})$ ， $B (6, 2 \sqrt{3})$ ，且圆心C在x轴上．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $D (2, 10)$ ，且被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线 $O M$ ， $O N$ 分别与直线 $x = 8$ 相交于P，Q，记 $△ O M N$ ， $△ O P Q$ 面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最大值．

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18. 已知圆C过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (0, 6)$ .并且圆心在直线 $y - 2 = 0$ 上，点 $P (4, 8)$ ，过点P作圆C的切线l.

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、求切线l的方程.

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19. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 4 = 0$ ，圆 $C_{1} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 及点 $P (3, 1)$ .

(1)、判断圆 $C$ 和圆 $C_{1}$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过点 $P$ 且与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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2025高考一轮复习（人教A版）第三十四讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

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四、解答题

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