2024届浙江省普通高校招生考试选考科目考试冲刺卷（一）数学试题

试卷更新日期：2024-05-31 类型：高考模拟

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一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目要求.）

1. 已知集合 $A = \{x ||x - 3| < 1\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{8} \leq 2^{- x} \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 3]$ B、 $(2, 3]$ C、 $[1, 3]$ D、 $(1, 3]$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m^{2}, 2)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4或2 B、 $- 2$ C、2 D、2或 $- 2$

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3. 已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{10}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α + \frac{2 π}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 如图，一个底面半径为 $4 cm$ ，母线长为 $4 \sqrt{5} cm$ 的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的 $\frac{1}{2}$ ，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为（）

A、 $2 \sqrt[3]{7} cm$ B、 $4 cm$ C、 $6 cm$ D、 $4 \sqrt[3]{7} cm$

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5. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 过点 $M (0, 1)$ 作圆 $O_{1}$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则原点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $\frac{2}{a^{2} + 2 a b} + \frac{1}{b^{2} + a b} = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、 $2 - \sqrt{2}$ B、 $2 + \sqrt{2}$ C、 $4 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 - 2 \sqrt{2}$

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8. 函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - e^{2} x - 2$ 的极小值为（）

A、 $e^{2} - 2$ B、 $- 2 e^{2} - 2$ C、 $2 - 2 e^{2}$ D、 $- 2 - e^{2}$

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二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）

9. 已知复数 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2$ ， $z_{3} = z_{1} + z_{2} = 2 i$ ，且 $z_{1}$ 在复平面内对应的点在第一象限，则以下结论正确的为（）

A、 $\bar{z_{1}} + \bar{z_{2}} = \bar{z_{3}}$ B、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、 $z_{1} \cdot z_{2} = - 4$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = 2 - \sqrt{3} i$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{4}) + 2 \sqrt{3} c o s^{2} (x + \frac{π}{8})$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{5 π}{24}, \sqrt{3})$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $(\frac{4 π}{3}, \frac{3 π}{2})$ 上单调递减 D、将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{11 π}{24}$ 个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数

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11. 已知函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，对 $\forall x \in R$ ， $f (x) > 0$ ，且 $f (x + 1) = f (x) f (x + 2)$ ，若 $f (1) = 2$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (2) = \sqrt{2}$ B、 $f (3) = 1$ C、 $f (- 1) = f (5)$ D、 $f (\frac{1}{2}) = f (\frac{15}{2})$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）

12. 已知 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{5}{12}$ ，则 $P (B |\bar{A}) =$ .

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13. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为双曲线渐近线上的点，且 $\vec{F_{1} M} \cdot \vec{F_{2} M} = 0$ ，若 $|M F_{1}| = 2 |M F_{2}|$ ，则该双曲线的离心率 $e =$ .

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14. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $(2^{b_{n}} - 1) S_{n} = a_{n + 1}$ ，则满足 $T_{n} \geq 2$ 的正整数 $n$ 的最小值为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 如图，在平面内的四个动点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 构成的四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $C D = 3$ ， $A D = 4$ .

(1)、求 $△ A C D$ 面积的取值范围；

(2)、若四边形 $A B C D$ 存在外接圆，求外接圆面积.

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ E F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 夹角的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + sin x) - x - 1$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，判断 $f (x)$ 的零点个数.

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18. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $x + 2 y - 4 = 0$ 相切于点 $P (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ ， $N$ 为椭圆上异于点 $P$ 的点，直线 $P M$ ， $P N$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，若 $tan ∠ P A B \cdot tan ∠ P B A = 1$ ，证明：直线 $M N$ 恒过定点.

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19. 某手机销售商为了了解一款5G手机的销量情况，对近100天该手机的日销量 $X$ （单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值 $\bar{X} = 300$ ，样本的标准差 $s = 50$ .

(1)、经分析，可以认为该款手机的日销售量 $X$ 近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本的平均值 $\bar{X}$ 作为 $μ$ 的近似值，用样本的标准差 $s$ 作为 $σ$ 的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在 $[350, 400)$ 之间的概率；

(2)、为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球和白球各10个，顾客随机摸取一个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分；放回后进行下一次摸取.设顾客的初始积分为0，当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元.活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数.（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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