2025高考一轮复习（人教A版）第二十二讲空间直线、平面平行的判定和性质

试卷更新日期：2024-12-22 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 已知 $\vec{v}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α, β$ 的法向量（ $α, β$ 不重合），则下列说法中，正确的是（）

A、 $\vec{v} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ B、 $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ C、 $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ D、 $\vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α$

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2. 如图，若 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积变化. B、若 $F$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面ABCD内运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值是 $\sqrt{6}$ C、使直线AP与平面ABCD所成的角为 $45^{°}$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $2 π + 4 \sqrt{2}$ D、当 $P$ 在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$

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3. 在空间四边形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点，且 $A E : E B = A F : F D = 1 : 4$ ，又 $H, G$ 分别为 $B C, C D$ 的中点，则（）

A、 $B D / /$ 平面 $E F G$ ，且四边形 $E F G H$ 是矩形 B、 $E F / /$ 平面 $B C D$ ，且四边形 $E F G H$ 是梯形 C、 $H G / /$ 平面 $A B D$ ，且四边形 $E F G H$ 是菱形 D、 $E H / /$ 平面 $A D C$ ，且四边形 $E F G H$ 是平行四边形

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4. 如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，当 $P A$ ∥平面 $E B F$ 时， $\frac{P F}{F C} =$ ( )

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 已知 $α, β$ 是两个不同的平面， $m, n$ 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A、若 $m$ 上有两点到平面 $α$ 距离相等，则 $m$ $/ /$ $α$ B、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 是异面直线 C、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ 与 $n$ 没有公共点 D、若 $α \cap β = n, m \subset α$ ，则 $m$ 与 $β$ 一定相交

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6. 如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 $M N / /$ 平面 $A B C$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点，若 $A_{1} P$ $∥$ 平面 $A E F$ ，则线段 $A_{1} P$ 长度的取值范围是（）

A、 $[1, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ B、 $[\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{5}}{2}, \sqrt{2}]$ D、 $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$

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8. 如图，该组合体由一个正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和一个正四棱锥 $P - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 组合而成，已知 $A B = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $P A_{1} = 2$ ，则（）

A、 $P A_{1} ∥$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ B、 $P B_{1} ∥$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ C、 $P C_{1} ⊥$ 平面 $B D C_{1}$ D、 $P D_{1} ⊥$ 平面 $B D C_{1}$

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二、多项选择题

9. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3} A D = \sqrt{3} A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点P为线段 $A_{1} C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、当 $\vec{A_{1} C} = 2 \vec{A_{1} P}$ 时， $B_{1}$ ， P，D三点共线 B、当 $\vec{A P} ⊥ \vec{A_{1} C}$ 时， $\vec{A P} ⊥ \vec{D_{1} P}$ C、当 $\vec{A_{1} C} = 3 \vec{A_{1} P}$ 时， $D_{1} P / /$ 平面 $B D C_{1}$ D、当 $\vec{A_{1} C} = 5 \vec{A_{1} P}$ 时， $A_{1} C ⊥$ 平面 $D_{1} A P$

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10. 已知一个正八面体 $A B C E D F$ 如图所示， $A B = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B E / /$ 平面 $A D F$ B、点 $D$ 到平面 $A F C E$ 的距离为1 C、异面直线 $A E$ 与 $B F$ 所成的角为 $45 °$ D、四棱锥 $E - A B C D$ 外接球的表面积为 $4 π$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E, F, G, H, I$ 均为所在棱的中点， $P$ 是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $H I / /$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ C、过 $E, F, G$ 三点的平面截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ D、若 $A P = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $3 π$

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三、填空题

12. 三棱锥 $A - B C D$ 的所有棱长均为2，E，F分别为线段BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若 $M N / /$ 平面ABD，则线段MN长度的最小值为．

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13. 如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 在线段 $B C$ 上，且 $C M = \frac{1}{3} B C, N$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上一点，且 $M N$ $∥$ 平面 $A_{1} B D$ ，则线段 $M N$ 的最大值为.

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14. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 和 $△ P B C$ 均为边长为2的等边三角形， $D, E$ 分别在棱 $P B, A C$ 上，且 $\frac{P D}{P B} = \frac{A E}{A C}, D E \subset$ 平面 $α, A P / /$ 平面 $α$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ，则平面 $α$ 与三棱锥 $P - A B C$ 的交线围成的面积最大值为．

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15. 如图，长方体木块 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = B B_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， E，F，G分别是线段 $A B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ ， DC的中点，平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 上存在点P，满足 $D P$ $∥$ 平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为．

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四、解答题

16. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的余弦值．

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17. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形、 $S A ⊥$ 平面 $A B C D ， M ， N$ 分别为棱 $S B ， S C$ 的中点

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $S A D$ ；

(2)、若 $S A = A D$ ，求直线 $S D$ 与平面 $A D N M$ 所成角的正弦值

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ， $△ P A D$ 为等腰三角形， $P A = P D = \sqrt{5}$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = C D = 2 B C = 2$ ，点 $E, F$ 分别为棱 $P D, P B$ 的中点．

(1)、求证：直线 $B D //$ 平面 $A E F$ ；

(2)、求直线 $B D$ 到平面 $A E F$ 的距离；

(3)、试判断棱 $P C$ 上是否存在一点G，使平面 $A E F$ 与平面 $A D G$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ ，若存在，求出 $\frac{P G}{P C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 如图所示，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ . $E$ 、 $F$ 分别在线段 $B C$ 和 $A D$ 上， $A B / / E F$ ，将矩形 $A B E F$ 沿 $E F$ 折起.记折起后的矩形为 $M N E F$ ，且平面 $M N E F ⊥$ 平面 $E C D F$ .

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $M F D$ ；

(2)、若 $E C = 3$ ，求证： $N D ⊥ F C$ ；

(3)、求四面体 $N F E C$ 体积的最大值

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