广西桂林市2024-2025学年高一上学期12月联合检测数学试卷

试卷更新日期：2024-12-08 类型：月考试卷

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一、单选题(每小题5分，共40分)

1. 已知集合 $A = \{x |0 < x < 2\}, B = \{x |\frac{x - 1}{x - 2} < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |1 < x \leq 2\}$ C、 $\{x |0 < x < 2\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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2. 设 $a = \ln 3$ ， $b = \log_{\frac{1}{e}} 3$ ， $c = 3^{- 2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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3. 清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（）

A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} + x - 2$ 的零点一定位于下列哪个区间（）.

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(1 ， \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{2} ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{5}{2})$

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5. 下面命题正确的是（）

A、已知 $x \in R$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充要条件 B、命题“ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$ ”的否定是“ $\forall x < 1$ ， $x^{2} \geq 2$ ” C、已知 $x, y \in R$ ，则“ $|x| + |y| > 0$ ”是“ $x > 0$ ”的既不充分也不必要条件 D、已知 $a, b \in R$ ，则 $“ a - 3 b = 0 ”$ 是 “ $\frac{a}{b} = 3$ ”的必要不充分条件

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6. 某学校科技创新小组准备模拟东风31弹道导弹的发射过程，假设该小组采用的飞行器的飞行高度（单位：米）与飞行时间（单位：秒）之间的关系可以近似用函数 $y = a \log_{3} x + b$ 来表示.已知飞行器发射后经过2秒时的高度为10米，经过6秒时的高度为30米，欲达到50米的高度，需要（）秒.

A、15 B、16 C、18 D、20

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7. 函数 $f (x) = | x - 1 | - \frac{1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的部分图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 制作一个面积为1 $m^{2}$ 且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（）

A、4.6m B、4.8m C、5m D、5.2m

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二、多选题(每小题6分，两个答案对的，选对一个得3分；三个答案对的，选对一个得2分；有错选的得0分；共18分)

9. 已知3是函数 $f (x) = \{\begin{cases} \ln (x - a) (x > 2) \\ e^{x} (x \leq 2) \end{cases}$ 的一个零点，则（）

A、 $a = 4$ B、 $a = 2$ C、 $f (6) = e^{2}$ D、 $f (f (6)) = 4$

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10. 关于函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ ，正确的说法是（）

A、 $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、 $f (x)$ 的定义域为 ${x | x \neq 1}$ C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 对称

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11. 已知定义在R上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x - \frac{3}{2}) = - f (x)$ ，且 $f (x + \frac{3}{4})$ 为奇函数， $f (- 1) = - 1$ ， $f (0) = 2$ .下列说法正确的是（）

A、3是函数 $y = f (x)$ 的一个周期 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{3}{4}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3}{4} ， 0)$ 对称 D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2023) = 2$

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三、填空题(每小题5分，共15分)

12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{- x}, x \geq - 1 \\ \log_{2} (1 - x), x < - 1 \end{array}$ ，则 $f (0) - f (- 3) =$ .

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13. 已知函数 $f (x) = x^{2} (a e^{x} - e^{- x})$ 是奇函数，则 $a =$ .

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14. 不等式 $m x^{2} + m x + 1 > 0$ 的解集为R，则实数m的取值范围为.

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四、解答题(第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，共77分)

15. 已知集合 $P = {x | 2 x^{2} - 3 x + 1 \leq 0}, Q = {x | (x - a) (x - a - 1) \leq 0} .$
（1）若 $a = 1$ ，求 $P \cap Q$ ；
（2）若 $x \in P$ 是 $x \in Q$ 的充分条件，求实数a的取值范围.

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16. 计算：
（1） $\frac{6}{5} a^{\frac{1}{3}} b^{- 2} \cdot (- 3 a^{\frac{1}{2}} b^{- 1}) \div {(4 a^{\frac{2}{3}} b^{- 3})}^{\frac{1}{2}}$
（2） $2 \log_{3} 2 - \log_{3} \frac{32}{9} + \log_{3} 8 - \log_{2} 9 \cdot \log_{3} 2$
（3）已知 $5^{a} = 3, 5^{b} = 4$ ，用a，b表示 $\log_{25} 36$ ．

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17. 若函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ ．
（1）求 $f (x)$ 在R的解析式；
（2）若 $a \in R$ ， $g (x) = f (x) - a$ ，试讨论 $a$ 取何值时 $g (x)$ 有两个零点？a取何值时 $g (x)$ 有四个零点？

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18. 某国产车企在自动驾驶技术方面日益成熟，近期拟推出一款高阶智驾新车型，并决定大量投放市场．已知该车型年固定研发成本为20亿元，受到场地和产能等其它因素的影响，该公司一年内生产该车 $x$ 万台（ $0 \leq x \leq 10$ ）且全部售完，每台售价20万元，每年需投入的其它成本为 $C (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 6 x + 4,0 \leq x \leq 3, \\ 24 x + \frac{144}{x} - 107,3 < x \leq 10 \end{matrix}$ （单位：亿元）．（其中，利润＝销售收入－总成本）

(1)、写出年利润 $S (x)$ （亿元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式；

(2)、当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润；

(3)、若该企业当年不亏本，求年产量 $x$ （万台）的取值范围．

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19. 已知函数 $g (x)$ 对一切实数 $x ， y \in R$ ，都有 $g (x + y) - g (y) = x (x + 2 y - 2)$ 成立，且 $g (1) = 0$ ， $f (x) =$ $\frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $g (0)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、若关于x的方程 $f (| 2^{x} - 1 |) + \frac{2 k}{| 2^{x} - 1 |} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.

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