浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-11 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在复平面内，复数 $z = (2 - i) (- 1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知集合 $A = {x | - 1 < x - 3 \leq 2}$ ， $B = {x | 3 \leq x < 4}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 < x < 5}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 < x \leq 5}$ C、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$

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3. 直线 $y = \sqrt{3} x + 3$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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5. 已知 $\vec{a} = (1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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7. 已知点 $A (4, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，从点 $P (2, 0)$ 射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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8. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为 $D_{1} E$ 的中点，则点 $P$ 到直线 $C C_{1}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (4, - 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (6, - 3, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, - 5, - 2)$ B、 $\vec{a} - \vec{b} = (2, - 1, 6)$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 22$ D、 $|\vec{a}| = 6$

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10. 已知函数 $f (x) = 3 sin x cos x + 3 \sqrt{3} {sin}^{2} x - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + 1$ ，下列命题正确的有（）

A、由 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = 1$ 可得 $x_{1} - x_{2}$ 是 $π$ 的整数倍 B、 $y = f (x)$ 的表达式可改写成 $f (x) = 3 cos (2 x - \frac{5 π}{6}) + 1$ C、 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 1)$ 对称 D、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{12}$ 对称

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11. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 45 °$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、 $\vec{A D_{1}} ∥ (\vec{B_{1} B} + \vec{B C})$ B、 ${(\vec{A_{1} A} + \vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} B})}^{2} = 3 {\vec{A_{1} B_{1}}}^{2}$ C、 $\vec{A C_{1}} \cdot (\vec{A_{1} B_{1}} - \vec{A D}) = 0$ D、 $|\vec{A C_{1}}| = 3$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知 $\vec{a} = (- 4, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则实数 $k$ 的值为.

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13. 已知直线 $l$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距互为相反数且过点 $(1, 2)$ ，则这条直线的方程为.

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14. 已知直线 $l_{1} : x - m y - 2 = 0$ 过定点 $A$ ，直线 $l_{2} : m x + y + 2 = 0$ 过定点 $B$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $C$ ，则 $|A C| + |B C|$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知直线 $l : x - 2 y - 2 = 0$ .

(1)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、求过点 $M (3, 2)$ 与直线 $l$ 垂直的直线 $l_{2}$ 的方程.

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16. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + 2 = 0$ 的两根， $2 \cos (A + B) = 1$ .
（1）求角 $C$ 的度数；
（2）求 $A B$ 的长.

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17. 已知空间三点 $A (0, 2, 3)$ ， $B (- 2, 1, 6)$ ， $C (1, - 1, 5)$ .

(1)、求以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 分别与 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 垂直，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标.

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18. 设直线 $l_{1} : x - 2 y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : (3 - m) x + m y + m^{2} - 3 m = 0$ .

(1)、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离；

(2)、求直线 $l_{2}$ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线 $l_{2}$ 的方程.

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19. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A D = C D = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P A = 1$ ， $N$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $D N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A C$ 与平面 $A C D$ 的夹角为 $45 °$ ？如果存在，求出 $B M$ 与平面 $M A C$ 所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.

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