四川省成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-12-09 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $|- 1 + 2 i| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、5 D、 $\sqrt{5}$

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2. 已知 $p : \forall x \in R$ ， $x^{2} - x < - 2$ ； $q : \exists x \in (0, 1)$ ， $|x - 1| < 1$ ，则（）

A、 $p$ 假 $q$ 假 B、 $p$ 假 $q$ 真 C、 $p$ 真 $q$ 真 D、 $p$ 真 $q$ 假

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3. 已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $\vec{b} = (- 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 给定集合 $M$ ， $N$ ，定义 $M - N = \{x |x \in M$ 且 $x \notin N\}$ ，若 $M = \{x| - 2 \leq x \leq 2\}$ ， $N = \{y |y = x + \frac{1}{x + 1}, x > - 1\}$ ，下列选项错误的是（）

A、 $N = \{y |y \geq 1\}$ B、 $M - N = \{x |- 2 \leq x < 1\}$ C、 $N - M = \{x |x \geq 2\}$ D、 $N - (N - M) = \{x |1 \leq x \leq 2\}$

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5. 若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ 且 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x$ ，则方程 $f (x) = \log_{3} |x|$ 的零点个数是

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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6. 已知 $a, b \in R^{+}$ ， $a + 2 b - 2 a b = 0$ ，则 $8 a + b$ 的最小值是（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{27}{2}$ D、17

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7. 如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动，则下列结论一定成立的是（）

A、三棱锥 $A - A_{1} P D$ 的体积大小与点 $P$ 的位置有关 B、 $A_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 相交 C、平面 $P D B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ D、 $A P ⊥ D_{1} C$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{m x} - \frac{1}{m} \ln x$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立，则m的取值范围为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(e, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{e}, e)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，由多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分．

9. 关于函数 $y = \sin x (\sin x + \cos x)$ 描述正确的是（）

A、最小正周期是 $2 π$ B、最大值是 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ C、一条对称轴是 $x = \frac{3 π}{8}$ D、一个对称中心是 $(\frac{π}{8}, \frac{1}{2})$

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10. 已知定义在区间[a，b]上的函数 $y = f (x)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，若存在 $ξ \in (a, b)$ ，使得 $f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)$ ．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间 $[- 2, 2]$ 上至少有两个“中值点”的函数为（）

A、 $f (x) = \sin x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = \ln (x + 3)$ D、 $f (x) = x^{3} - x + 1$

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ．过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A 、 B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限． $△ A F_{1} F_{2}$ 的内心为 $I_{1}, A I_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，记 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $I_{1}$ 的半径为 $r_{1}, △ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆 $I_{2}$ 的半径为 $r_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若双曲线渐近线的夹角为 $60 °$ ，则双曲线的离心率为2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、若 $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，且 $|B F_{1}| - |A F_{1}| = 2 a$ ，则双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ，则 $r_{1} - r_{2}$ 的取值范围是 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}, A I_{1} = 2 I_{1} P$ ，则双曲线的离心率为 $\frac{5}{4}$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项和为10，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则 $a_{10} =$ ．

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13. 若 $\sin α = \frac{\sin 20 °}{\tan 20 ° - \sqrt{3}}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$ ．

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14. 我们称 $n (n \in N^{*})$ 元有序实数组 $(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 为 $n$ 维向量， $|x_{1}| + |x_{2}| + \dots + |x_{n}|$ 为该向量的范数.已知 $n$ 维向量 $\vec{a} = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ，其中 $x_{i} \in \{- 1, 0, 1\} (i = 1, 2, \dots n)$ ，记范数为奇数的 $\vec{a}$ 的个数为 $A_{n}$ ，则 $A_{3} =$ ； $A_{2 n} =$ （用含 $n$ 的式子表示， $n \in N^{*}$ ）.

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明步骤或演算步骤．

15. $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $a_{1} = 1$ ， $S_{n}_{+ 1} = 2 S_{n} + 1$ ．
（1）证明 $\{S_{n} + 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，且 $b_{1} = a_{2}, b_{7} = a_{4}$ ，求数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16. 某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表：

语文兴趣
数学兴趣
英语兴趣
物理兴趣
化学兴趣
生物兴趣
答卷份数
350
470
380
400
300
500
兴趣良好频率
0.7
0.9
0.8
0.5
0.8
0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．

(1)、从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；

(2)、从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；

(3)、按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为 $η$ ，求 $η$ 的分布列和期望．

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面ABC， $∠ A A_{1} C_{1} = 120 °$ ， $A C = C C_{1} = 4$ ， $\tan ∠ B A C = \frac{3}{2}$ ， $B A = B C$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{D C}$ ， $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{E C_{1}}$ ．

(1)、求证：B，D，E， $B_{1}$ 四点共面；

(2)、求二面角 $A_{1} - B B_{1} - D$ 的余弦值．

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18. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b] (I \subseteq D)$ ，当且仅当函数 $y = f (x)$ 满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 $I$ 是 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”.
性质①：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \in I$ ；
性质②：对于任意 $x_{0} \in I$ ，都有 $f (x_{0}) \notin I$ .

(1)、已知 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $x \in R$ .分别判断区间 $[0, 2]$ 和区间 $[1, 3]$ 是否为函数 $y = f (x)$ 的“美好区间”，并说明理由；

(2)、已知 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 12 (x \in R)$ 且 $m > 0$ ，若区间 $[0, m]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“美好区间”，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，满足 $x_{1} x_{2} ＝ 4 y_{1} y_{2}$ ．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．

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	语文兴趣	数学兴趣	英语兴趣	物理兴趣	化学兴趣	生物兴趣
答卷份数	350	470	380	400	300	500
兴趣良好频率	0.7	0.9	0.8	0.5	0.8	0.8