四川省2024-2025学年高三上学期（新高考二卷地区）第一次适应性考试数学试题

试卷更新日期：2024-12-02 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 3 x \leq 0}$ ，集合 $B = {n | n = 2 k + 1, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${1, 3}$ C、 ${- 3, - 1}$ D、 ${- 3, - 1, 1, 3}$

查看试题解析
2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列，则 $a_{2}$ 等于（）

A、9 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

查看试题解析
3. 方程 $4 \cos^{2} x - 4 \sqrt{3} \cos x + 3 = 0$ 的解集是（）

A、 $\{x | x = k π + {(- 1)}^{k} \cdot \frac{π}{6}, k \in Z\}$ B、 $\{x | x = k π + {(- 1)}^{k} \cdot \frac{π}{3}, k \in Z\}$ C、 $\{x | x = 2 k π \pm \frac{π}{6}, k \in Z\}$ D、 $\{x | x = 2 k π \pm \frac{π}{3}, k \in Z\}$

查看试题解析
4. 已知平面上四个点 $A, B, C, D$ ，其中任意三个不共线．若 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = \vec{A C} \cdot \vec{A D}$ ，则直线 $A D$ 一定经过三角形 $A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

查看试题解析
5. 已知椭圆 $r : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a^{2} > 0, b^{2} > 0, a^{2} \neq b^{2})$ 过点 $(1, 1)$ ，其右顶点 $A$ ，上顶点 $B$ ．那么以下说法正确的是（）

A、设 $c$ 是半焦距 $O$ 到 $Γ$ 的其中一个焦点的距离，那么必然有 $c^{2} < a^{2}$ B、 $O$ 到直线 $A B$ 的距离 $d_{O - A B}$ 不是定值 C、 $Γ$ 和 $x^{2} + y^{2} + x y = \frac{3}{4}$ 没有交点 D、三角形 $O A B$ 面积的取值范围是 $[1, + \infty)$

查看试题解析
6. 设复数 $z = 1 + 0.2 i$ ， $w = z^{8}$ ．那么如下说法中错误的是（）

A、 $|w| < 1.16$ B、 $w$ 在第二象限 C、若 $f (x) = {(5 x - 4)}^{2}$ ，那么 $f (z) = 2 i$ D、 $\frac{\bar{w} - \frac{1}{w}}{\bar{w}} \in Q$

查看试题解析
7. 设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，点 $N (\sqrt{6}, y_{0})$ （ $y_{0} > \frac{p}{2}$ ）是 $C$ 上一点．已知以 $N$ 为圆心的圆与 $x$ 轴相切，与线段 $N F$ 相交于点 $A$ ， $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，圆 $N$ 被直线 $y = \frac{p}{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3} |N A|$ ，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $y = - \frac{1}{2}$ B、 $y = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - 2$

查看试题解析
8. 数列是密码设置的常用手段，几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列0，2，4，6，8，11，14，17，20，23，27，31，35，39，43……其中第1至5项构成公差为2的等差数列，第5至10项构成公差为3的等差数列，第10至15项构成公差为4的等差数列，依此类推，求满足如下条件的最小整数 $N$ ， $N > 66$ 且该数列的第 $N$ 项为2的整数幂减1，那么该款软件的激活码是（）

A、87 B、94 C、101 D、108

查看试题解析

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分．

9. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2 (a b + b c + c a)$ B、 $\frac{a}{1 + a}$ ， $\frac{b}{1 + b}$ ， $\frac{c}{1 + c}$ 不能构成三角形 C、若 $a^{3} + b^{3} = c^{3}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为有理数，则 $cos (A - B)$ 为有理数

查看试题解析
10. 已知曲线 $C$ 上的点 $P (x ， y)$ 满足方程 $x | x - 1 | + y | y - 1 | = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时，曲线 $C$ 的长度为 $2 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} π}{2}$ B、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时， $\frac{y - 1}{x + 2}$ 的最大值为1，最小值为 $- \frac{1}{2}$ C、曲线 $C$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围成的封闭图形的面积和为 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$ D、若平行于 $x$ 轴的直线与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个不同的点，其横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是 $(2 ， \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

查看试题解析
11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ A C$ ， $B D = 2 A C = 4$ ，且 $\frac{A B}{A D} = \frac{C B}{C D} = 2$ ，则（）

A、当 $△ A C D$ 为等边三角形时， $A B ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B C$ B、当 $A D ⊥ B D$ ， $C D ⊥ B D$ 时，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ C、 $△ A B D$ 的周长等于 $△ B C D$ 的周长 D、三棱锥 $A - B C D$ 体积最大为 $\frac{4 \sqrt{55}}{9}$

查看试题解析

三、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分15分．

12. 二项式 ${(3 - 2 x)}^{6}$ 中展开式中 $x^{3}$ 项的系数为

查看试题解析
13. 四面体 $A B C D$ 体积为6， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = B C = C D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 的夹角为

查看试题解析
14. 从1，2，…，2024中任取两数 $a$ ， $b$ （可以相同），则 $3^{a} + 7^{b}$ 个位为8的概率为

查看试题解析

四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程及步骤．

15. 某品牌汽车制造厂引进了一条小型家用汽车装配流水线，本年度第一季度统计数据如下表
月份
1月
2月
3月
小型汽车数量 $x$ （辆）
30
60
80
创造的收益 $y$ （元）
4800
6000
4800

(1)、根据上表数据，从下列三个函数模型中：① $y = a x + b$ ， ② $y = a x^{2} + b x + c$ ， ③ $y = a^{x} + b$ 选取一个恰当的函数模型描述这条流水线生产的小型汽车数量 $x$ （辆）与创造的收益 $y$ （元）之间的关系，并写出这个函数关系式；

(2)、利用上述你选取的函数关系式计算，若这家工厂希望在一周内利用这条流水线创收6020元以上，那么它在一周内大约应生产多少辆小型汽车？

查看试题解析
16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} - a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 0$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足， $b_{1} = 1, b_{2 n} - b_{2 n - 1} = b_{2 n + 1} - b_{2 n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求证： $\frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{4}} + ⋯ + \frac{1}{b_{2 n}} < \frac{3}{4}$ ．

查看试题解析
17. 如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B / / A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $C M$ （不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 $E - B N - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出的 $\frac{C E}{E M}$ 值，若不存在请说明理由．

查看试题解析
18. 设 $f (x) = e^{x^{3} - x} - a x$

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、讨论 $f (x)$ 的零点数量．

查看试题解析
19. 定义若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）的两个焦点和两个顶点四点共圆，则称该椭圆为“完美曲线”．已知 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a^{2} > b^{2} > 0$ ）为“完美曲线”，且 $Γ$ 和 $l_{1}$ ： $x + \sqrt{6} y = 4$ ， $l_{2}$ ： $x - \sqrt{6} y = 4$ 均相切．

(1)、求 $Γ$ 的表达式和离心率

(2)、已知动点 $P$ 在 $Γ$ 的第一象限上运动， $l_{P}$ 和 $P$ 相切，和 $l_{1}$ 交于 $C$ ，和 $l_{2}$ 交于 $D$ ．设 $Γ$ 右焦点为 $F_{1}$ ，证明 $∠ C F_{1} D$ 是定值，并求其正切值．

查看试题解析

月份	1月	2月	3月
小型汽车数量 $x$ （辆）	30	60	80
创造的收益 $y$ （元）	4800	6000	4800