广东省“八校联盟”2024-2025学年高一上学期期中教学质量检测数学试题(一)

试卷更新日期：2024-12-08 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = \{x \in N |- 2 \leq x \leq 4\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{0, 4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 4\}$

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2. 若 $a, b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$ C、若 $a < |b|$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ D、若 $a > |b|$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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3. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ B、集合 $A = {x | y = x^{2} + 1}$ 与集合 $B = {y | y = x^{2} + 1}$ 是相同的集合 C、任意一个三角形，它的内角和大于或等于 $180^{\circ}$ D、所有的素数都是奇数

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4. 方程 $a x^{2} + 5 x + 4 = 0 (a \neq 0)$ 有两个异号实根的一个充要条件是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < 2$ D、 $a < - 1$

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5. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(3, 9)$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 B、偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数 C、奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数 D、非奇非偶函数，且在 $(0, + \infty)$ 上是增函数

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7. $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，满足 $2 f (x) - f (\frac{1}{x}) = 2 x + 1$ ，则 $f (x)$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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8. 已知 $\emptyset \neq A \subseteq Z$ ，对于 $k \in A$ ， $k - 1 \notin A$ 且 $k + 1 \notin A$ ，则称 $k$ 为 $A$ 的“孤立元”．给定集合 $A = {x \in N^{*} | - 1 < x \leq 5}$ ，则 $A$ 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（）

A、5 B、7 C、13 D、15

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二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列各组函数中是同一函数的是（）

A、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ 与 $h (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $n (x) = x^{2} + 8 x + 15$ 与 $u (x) = (x + 3) (x + 5)$ D、 $v (x) = x^{2}$ 与 $m (x) = \sqrt[3]{x^{6}}$

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10. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ ， $x \neq 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ D、 $f (\frac{1}{x}) = \frac{1}{f (x)}$

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11. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是（）

A、a＋b＋ $\frac{1}{\sqrt{a b}}$ ≥2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{2 a b}{a + b}$ ≥ $\sqrt{a b}$ C、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{\sqrt{a b}}$ ≥a＋b D、(a＋b) $(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ≥4

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 请写出命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 3 x - 10 > 0$ ”的否定：．

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13. 已知函数 $f (x - 1)$ 的定义域为 $[2, 3]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为．

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14. 已知集合 $A = {x | \frac{2 x}{x - 2} < 1}$ 、集合 $B = {x | x^{2} - (2 m + 1) x + m^{2} + m < 0}$ ，命题 $p : x \in A$ ，命题 $q : x \in B$ ，若命题p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x^{2} - 3 x - 10 \geq 0\}$ ， $B = \{x | a - 1 \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $(∁_{U} A) \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求a的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + 3 f (- x) = 2 x - 1 ．$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x) = - x f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上的值域．

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17. 某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．

(1)、若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价 $W ($ 元 $) ；$

(2)、如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？

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18. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、若不等式 $f (1 + 2 x^{2}) > f (x^{2} - 2 x + 4)$ 成立，求实数x的取值范围．

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19. 定义：已知集合 $M = {x | 2 a - 3 < x < 2 a} (a \geq 0)$ ， $\forall x \in M$ ， $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ ，则称 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”.
（1）当 $a = 4$ 时，判断 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 是否为“有界恒正不等式”；
（2）设 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”，求 $a$ 的取值范围.

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