广东省韶关市2025届高三上学期综合测试（一）数学试题

试卷更新日期：2024-12-10 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若复数 $z$ 满足 $z i = 1 + i$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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2. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{4} = \frac{1}{16}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的前6项和为（）

A、 $\frac{63}{64}$ B、 $\frac{31}{32}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直.则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- 2$ D、 $2$

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4. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位： $t$ ），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为 $p$ ，中位数为 $m$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m < p < \bar{x}$ B、 $p < \bar{x} < m$ C、 $m < \bar{x} < p$ D、 $p < m < \bar{x}$

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5. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x - 1, x < 1 \\ \frac{2}{x} - 6^{x}, x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[2, + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图， $A, B$ 是相邻的最低点和最高点，直线 $A B$ 的方程为 $y = 2 x + \frac{4}{3}$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{6})$

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7. 已知 $tan α, tan β$ 为方程 $x^{2} + 6 x - 2 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{cos (α - β)}{sin (α + β)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆 $C$ 没有公共点，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ B、 $(1, \frac{\sqrt{6}}{2})$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, \sqrt{2})$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知某批产品的质量指标 $ξ$ 服从正态分布 $N (25, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \geq 26) = 0.2$ ，现从该批产品中随机取3件，用 $X$ 表示这3件产品的质量指标值 $ξ$ 位于区间 $(24, 26)$ 的产品件数，则（）

A、 $E (ξ) = 25$ B、 $P (24 < ξ < 26) = 0.3$ C、 $P (X = 0) = 0.064$ D、 $D (X) = 0.24$

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10. 已知圆锥的顶点为 $P, A B$ 为底面圆 $O$ 的直径， $∠ A P B = 120^{\circ}, P A = 2$ ，点 $C$ 在圆 $O$ 上，点 $G$ 为 $A C$ 的中点， $P G$ 与底面所成的角为 $60^{\circ}$ ，则（）

A、该圆锥的侧面积为 $\sqrt{3} π$ B、该圆锥的休积为 $π$ C、 $A C = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、该圆锥内部半径最大的球的表面积为 $12 (7 - 4 \sqrt{3}) π$

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11. 若 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，对任意的 $x, y \in R$ ，恒有 $2 f (x) f (y) - f (x + y) = f (x - y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (\frac{x}{2}) + f (0) \geq 0$ C、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 D、若 $f (1) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{n = 1}^{2025} f (n) = - 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知集合 $A = {- 2, 0, 2, a}, B = {x ∣ |x - 1| \leq 3}, A \cap B = A$ ，写出满足条件的整数 $a$ 的一个值.

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13. 已知 ${log}_{4} a + 2 {log}_{a} 2 = 2$ ，则 $a =$ .

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14. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则小明通过测试的概率为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文子说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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17. 已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，其准线与 $y$ 轴相交于点 $M$ .动点 $P$ 满足直线 $P F, P M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $Γ$ 相交于 $C, D$ 两点，若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ .求 $k$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} - 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) = ln x - e^{x} - x^{2} + x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}, x_{11}, a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}, x_{22}$ ，使 $a_{2}, x_{21}, x_{21}, a_{3}$ 成等差数列；依次类推，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}$ ，使 $a_{n}, x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}, a_{n + 1}$ 成等差数列.
（i）若 $T_{n} = x_{11} + x_{21} + x_{22} + \dots + x_{n 1} + x_{n 2} + \dots + x_{n n}$ ，求 $T_{n}$ ；
（ii）对于（i）中的 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n, p (n < p)$ ，使得 $T_{m} = a_{n} + a_{p}$ 成立？若存在，求出所有的正整数对 $(m, n, p)$ ；若不存在，说明理由.

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