四川省名校联盟2024-2025学年高三12月联考数学试题

试卷更新日期：2024-12-05 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 已知 $z \cdot (1 - 3 i) = 10$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $3 i$ D、 $- 3 i$

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2. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、8 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $e^{x} + e^{- x} \geq 2$ ，命题 $q$ ： $\exists x \in (0, 10)$ ， $\sqrt{x (10 - x)} > 5$ ，则（）

A、命题 $p$ 与 $q$ 均为真命题 B、命题 $p$ 与 $\neg q$ 均为真命题 C、命题 $\neg p$ 与 $q$ 均为真命题 D、命题 $\neg p$ 与 $\neg q$ 均为真命题

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4. 已知平行四边形 $A B C D$ 的顶点 $A (0, 1)$ ，边 $A B$ 所在直线方程是 $x - y + 1 = 0$ ，对角线的交点为 $M (2, 2)$ ，边 $C D$ 所在直线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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5. 设 $m, n$ 为两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列说法一定成立的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ∥ γ$ C、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m, n$ 与 $α$ 所成角相等，则 $m ∥ n$

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6. 点 $P$ 在边长为 $1$ 的正三角形 $A B C$ 的外接圆上，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 已知实数a满足 $2^{a} + a = 2$ ，则函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 - a$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} - 2 x + 3) + e^{|x - 1|}$ ，设 $a = f (0), b = f (\log_{3} 4), c = f (\log_{4} 5)$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 为了研究某校高三年级学生的性别和身高是否低于 $170cm$ 的关联性，研究小组从该校高三学生中获取容量为500的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到如下列联表：
单位：人
性别
身高
合计
低于 $170cm$
不低于 $170cm$
女
140
60
200
男
120
180
300
合计
260
240
500
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
α
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
小组成员甲用该列联表中的数据进行独立性检验，小组成员乙将该列联表中的所有数据都缩小为原来的 $\frac{1}{10}$ 后再进行独立性检验，则下列说法正确的是（）

A、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，小组成员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 B、依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，小组成员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联 C、小组成员甲、乙计算出的 $χ^{2}$ 值相同，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，他们得出的结论也相同 D、小组成员甲、乙计算出的 $χ^{2}$ 值不同，依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，他们得出的结论也不同

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10. 已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 为无穷等差数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{5} = S_{17}$ ， $d < 0$ ，则 $a_{11} > 0$ ， $a_{12} < 0$ B、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ 且互不相等，则 $\frac{a_{m} - a_{n}}{m - n} = \frac{a_{p} - a_{q}}{p - q}$ C、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ ， $m < p < n < q$ ， $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} a_{n} < a_{p} a_{q}$ D、若 $a_{2025} = 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{4049 - n} (n \in N^{*}, n < 4049)$

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11. 已知函数 $f_{n} (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x, n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\cos 2 x = \frac{3}{5}$ ，则 $f_{4} (x) = \frac{17}{25}$ B、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f_{4} (x)$ 与 $y = \sin 4 x + \frac{3}{4}$ 的图象恰有5个交点 C、当 $n = 2 k + 1, k \in N^{*}$ 时，函数 $y = f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 成轴对称图形 D、当 $n = 2 k, k \in N^{*}$ 时，记函数 $f_{2 k} (x)$ 的最小值为 $a_{k}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} < 2$

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上）

12. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且经过点 $P (2, 0), Q (0, 1)$ ，则椭圆C的标准方程为．

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13. 已知棱长为1的正四面体 $P - A B C$ ， $E, F$ 分别为 $P A, B C$ 的中点，若以 $E F$ 的中点 $O$ 为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球 $O$ 半径的最大值为．

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14. 整数的商 $\frac{m}{n}$ （其中 $n \neq 0$ ）称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商 $\frac{m}{n}$ （其中 $n \neq 0$ ）的形式，则 $1. \dot{2} =$ （写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，m与n为互质的具体正整数）；若 $1.2$ ， $1.22$ ， $1.222, \dots$ 构成数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{(10^{n + 1} - 1) \cdot (a_{n} - 1)}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} =$ ．

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四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin C, 1 + \cos A)$ ， $\vec{n} = (c, a)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 1$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围．

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16. 已知圆 $C : x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 9$ ，圆 $C_{1}$ 经过点 $M (- 1, - \sqrt{3})$ ，且与圆C相切于点 $N (0, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 过点 $Q (- 1, - 2)$ ，且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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17. 已知函数 $f (x) = a x - \tan x$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \leq 2$ ，证明： $f (x) < \sin 2 x$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D, A B ⊥ B C$ ，且 $A B = B D = 2 C D = 4$ ，侧面 $P C D$ 是正三角形，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， E为 $P C$ 中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于F．

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值；

(3)、在平面 $D E F$ 内是否存在点Q．使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．

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19. 定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ ，那么称 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为A，B两点间的曼哈顿距离； $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ 为A，B两点间的欧几里得距离．

(1)、已知 $d (O, P) = 1$ ，求 $D (O, P)$ 的最小值；

(2)、已知 $M (3, 2), D (O, N) = 2$ ，求 $d (M, N)$ 的最大值；

(3)、已知 $a > 0$ ，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 在函数 $h (x) = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 图象上，点 $B (x_{2}, y_{2})$ 在函数 $g (x) = a \ln x - x$ 图象上，且 $y_{1} \neq y_{2}$ ，点A，B有 $d (A, B)$ 的最小值为4，求实数a的取值．

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单位：人
性别	身高		合计
性别	低于 $170cm$	不低于 $170cm$	合计
女	140	60	200
男	120	180	300
合计	260	240	500

α	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$