贵州省凯里市第三中学2023-2024学年高二下学期第一次测试数学试卷

试卷更新日期：2024-04-16 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 设集合A={1，2，3}，集合B={﹣2，2}，则A∩B=（　　）

A、∅ B、{2} C、{﹣2，2} D、{﹣2，1，2，3}

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2. 若复数 $z = \frac{2 - i}{2 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\frac{4}{5} i$ B、 $- \frac{4}{5} i$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前4项和为15，且a₅=3a₃+4a₁ ，则a₃=（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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4. 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和．若a₄+a₅=24，S₆=48，则{a_n}的公差为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、8

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5. 等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公差不为0，若 $a_{2} ， a_{3} ， a_{6}$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 前6项的和为（）

A、 $- 24$ B、 $- 3$ C、 $3$ D、8

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6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A、1盏 B、3盏 C、5盏 D、9盏

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7. 函数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ 的图像在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = - 2 x - 1$ B、 $y = - 2 x + 1$ C、 $y = 2 x - 3$ D、 $y = 2 x + 1$

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8. 已知曲线 $y = a e^{x} + x \ln x$ 在点 $(1 ， a e)$ 处的切线方程为 $y = 2 x + b$ ，则（）

A、 $a = e ， b = - 1$ B、 $a = e ， b = 1$ C、 $a = e^{- 1} ， b = 1$ D、 $a = e^{- 1} ， b = - 1$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分.共18分每小题有多项符合题目要求，全对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）

9. $2, m, 8$ 为等比数列的前三项，则 $m$ 的可能值为（）

A、4 B、5 C、 $- 4$ D、 $- 5$

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10. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）

A、 $sin(x + \frac{π}{3} ）$ B、 $sin(\frac{π}{3} - 2 x)$ C、 $cos(2 x + \frac{π}{6} ）$ D、 $cos(\frac{5 π}{6} - 2 x)$

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三、填空题（本大题共3小题，每题5分.共15分）

12. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的定义域为.

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13. 曲线 $y = l n | x |$ 过坐标原点的两条切线的方程为，．

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14. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则nS_n的最小值为．

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四、解答题解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 等差数列中，设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} + a_{4} = 8$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前8项和 $S_{8}$ .

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16. 已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求a的取值范围．

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17. 等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4 a_{3}$ ．
（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{m} = 63$ ，求 $m$ ．

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .
(1)证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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