浙江省杭州市杭州育才中学2023-2024学年七年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2024-02-07 类型：期末考试

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一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 我国地域辽阔，南北温差大．某日哈尔滨的最高气温为 $- 8 ℃$ ，海口的最高气温为 $23 ℃$ ，则该日这两地的温差为（）

A、 $31 ℃$ B、 $23 ℃$ C、 $16 ℃$ D、 $15 ℃$

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2. 在 $- \sqrt{5}, - 2, - \frac{2}{7}$ ， 0这四个数中，最小的数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $- 2$ C、 $- \frac{2}{7}$ D、0

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3. a、b两数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（　）

A、 $b > a$ B、 $- a < b$ C、 $|a| > |b|$ D、 $- a < - b$

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4. 一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（　　）

A、3.1536×10⁸ B、3.1536×10⁷ C、0.31536×10⁶ D、0.31536×10⁷

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5. 一个数a精确到十分位的结果是2.6，那么这个数a的范围满足（　　）

A、2.55≤a≤2.65 B、2.55＜a≤2.65 C、2.55＜a＜2.65 D、2.55≤a＜2.65

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6. 如图，下列条件中：① $∠ 1 = ∠ 4$ ；② $∠ 2 = ∠ 3$ ；③ $∠ A = ∠ C D E$ ；④ $∠ C + ∠ A D C = 180 °$ ．其中能判断 $A D ∥ B C$ 的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、②④

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7. 若 $2 a^{2} + b = 4$ ，则代数式 $- 4 a^{2} + 3 - 2 b$ 的值为（）

A、11 B、7 C、1 D、 $- 5$

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8. 有一个数值转换器，原理如图，当输入的 $x = 16$ 时，输出的y等于（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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9. 规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 $m @ n = m n - m + n$ ，例如： $2 @ 3 = 2 \times 3 - 2 + 3$ ．若 $2 @ (x - 1)$ 的运算结果与 $(x - 1) @ 2$ 的运算结果相同，则x的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知 $A B, C D, E F$ 是三条平行线，小明在三条平行线之间摆放相同的长方形纸片，如图所示，在 $C D$ 上方有7个，在 $C D$ 下方有4个， $A E F B$ 构成大长方形．已知小纸片长为a，宽为b，摆放方式不重叠也无空隙．小明发现，改变 $A B$ 的长度，空余部分的面积 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的差不改变，则a，b之间的关系为（）

A、 $5 b = 2 a$ B、 $4 b = a$ C、 $3 b = a$ D、 $5 b = 3 a$

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二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．

11. 计算： $\sqrt{4}$ ＝

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12. 化简 $(- 3 a + b) - (- 3 a - 2 b) =$ ．

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13. 若关于x的方程 $2 x - k x + 1 = - 2$ 的解为 $x = - 1$ ，则 $k =$ ．

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14. 已知 $∠ A$ 的余角比 $∠ A$ 的2倍少 $15^{°}$ ，则 $∠ A =$ 度.

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15. 如图，用火柴棒按如下方式依次摆放，拼成一排由三角形组成的图形，则第2024根火柴在第个图形中．

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16. 已知数轴上两点A，B对应的数分别是 $- 4$ 和2，点P从A出发以每秒6个单位长度的速度向右运动，点Q从B出发以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点P与点Q同时出发，经过秒后，P，Q之间距离2个单位长度．

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三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算： $(- 18) \times (\frac{2}{3} - ■) - 2^{2}$ ．
小明同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．

(1)、如果被污染的数字是 $\frac{1}{6}$ ，请计算 $(- 18) \times (\frac{2}{3} - \frac{1}{6}) - 2^{2}$ ；

(2)、如果计算结果等于4，求被污染的数字．

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18. 已知 $x = \frac{1}{2}, y = - 3$ ，求 $2 (x^{2} - x y) - x^{2} y + 2 x y$ 的值．

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19. 解方程

(1)、 $5 x + 2 (3 - x) = 8$

(2)、 $\frac{x - 4}{3} - 8 = - \frac{x + 2}{2}$ ．

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20. 如图， $A P$ 平分 $∠ B A C, C P$ 平分 $∠ A C D, ∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ．判断 $A B, C D$ 是否平行，并说明理由．

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21. 如图，已知线段 $A B$ ．

(1)、尺规作图（不写画法，但要保留画图痕迹）：
①延长线段 $A B$ 到C，使B点为线段 $A C$ 的中点；
②延长线段 $B A$ 到D，使 $A D$ 是 $C D$ 的三分之一．

(2)、求线段 $B D$ 与线段 $A C$ 长度之间的大小关系．

(3)、如果 $A B = 3$ ，求线段 $B D$ 和 $C D$ 的长．

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22. 某校课后服务开设足球训练营，需要采购一批足球运动装备，市场调查发现每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等

(1)、求足球的单价．

(2)、该训练营需要购买30套队服和 $y (y > 10)$ 个足球，甲、乙两商家以同样的价格出售所需商品，各自优惠方案不同：
商家
优惠方案
甲
每购买10套队服，送1个足球
乙
购买队服超过20套，则购买足球打8折
①按照以上方案到甲、乙商家购买装备各需费用多少？（用含有y的代数式分别表示）．
②请比较到哪个商家购买比较合算？

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23. 综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在 $A B$ 上取一点O，以 $O D$ 为折痕翻折纸片，点B落在点 $B^{'}$ ，以 $O C$ 为折痕翻折纸片，点A落在点 $A^{'}$ ，分别连接 $O B^{'}, O A^{'}$ ．

(1)、根据题意， $∠ D O B^{'} = ∠$ ____________， $∠ C O A^{'} = ∠$ ____________．

(2)、记 $∠ A O C = α, ∠ B O D = β$ ．
①如图1，若点 $B^{'}$ 恰好落在 $O A^{'}$ 上，求 $∠ C O D$ 的度数．
②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点 $B^{'}$ 在 $∠ C O A^{'}$ 的外侧，求 $∠ A^{'} O B^{'}$ 的度数（用含有 $α, β$ 的代数式表示）．
③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点 $A^{'}$ 在 $∠ D O B^{'}$ 的内部，求 $∠ A^{'} O B^{'}$ 的度数（用含有 $α, β$ 的代数式表示）．

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24. 杭州市居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表：
月用气量（单位：立方米）
价格（单位：元/立方米）
30以下（含30）
$2.5$
超出30且不超过50部分
$2.8$
超出50部分
$3.5$
注：不足1立方米记为1立方米．
冬季来临之前，居民小刘开始记录家里燃气使用情况，请根据小刘的记录解决问题：

(1)、①10月份用气量为30立方米，需要交气费多少钱？
②11月份用气量为40立方米，需要交气费多少钱？

(2)、12月份交了117元的气费，请计算他家12月份用了多少立方米的天然气．

(3)、1月天气寒冷，小刘家开启燃气取暖，燃气量将会增加．小刘预估1月他家使用天然气的平均价格为 $3.3$ 元/ $m^{3}$ ，那么小刘家预估用气是多少立方米？

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商家	优惠方案
甲	每购买10套队服，送1个足球
乙	购买队服超过20套，则购买足球打8折

月用气量（单位：立方米）	价格（单位：元/立方米）
30以下（含30）	$2.5$
超出30且不超过50部分	$2.8$
超出50部分	$3.5$