三角形的重心—浙教版数学九（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-07 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中，点D是斜边AB的中点，点G是 $R t △ A B C$ 的重心， $G E ⊥ A C$ 于点E ，若 $B C = 6 c m$ ，那么GE的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{3}$

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2. 如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（）

A、12 B、8 C、6 D、4

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3. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, A C = 4, B C = 3$ ，点 $D$ 为斜边上的中点，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，那么 $C G =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 如图，AE，CF分别是等腰Rt△ABC中CB、AB边上的中线，相交于点G，若斜边AB的长为6，则AG长为（）

A、3 B、3 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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5. 如图，点 $P$ 是等边三角形 $A B C$ 的重心， $A B = 3$ ， $Q$ 是 $B C$ 边上一点，当 $P Q ⊥ B P$ 时，则 $B Q$ 的长为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 如图，点P是△ABC的重心，若△ABC的面积为12，则△BPC的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点E，若 $△ A B C$ 的重心G在 $D E$ 上，则 $A B ： B C$ 的值是（）

A、 $3 ： 2$ B、 $7 ： 4$ C、 $2 ： 1$ D、 $8 ： 5$

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8. 如图，点G是 $△ A B C$ 的重心，过点G作 $M N ∥ B C$ 分别交AB，AC于点M，N，过点N作 $N D ∥ A B$ 交BC于点D，则四边形BDNM与 $△ A B C$ 的面积之比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $2 ： 3$ C、 $4 ： 9$ D、 $7 ： 9$

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二、填空题

9. 三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心 $O_{1}$ 和重心 $O_{2}$ 的距离为.

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10. 如图，AD、CE是△ABC的中线，若△CDG的面积是1，则△ABC的面积为．

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11. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6cm，8cm，则此直角三角形的重心与外心之间的距离为.

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12. 如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点O．若S_△_BOD=5，则S_△A_OB= ， S_△ABC=.

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三、解答题

13. 如图在 $5 \times 5$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)、在图1中，画出 $△ A B C$ 的重心G；

(2)、在图2中，画线段 $C E$ ，点E在 $A B$ 上，使得 $S_{△ A C E} ∶ S_{△ B C E} = 3 ∶ 4$ ；

(3)、图3中，在 $△ A B C$ 内寻找一格点N，使 $∠ A N B = 2 ∠ C$ ，并标注点N的位置．

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14. 如图，在等边三角形ABC中，P是△ABC的重心，过点P作PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，分别交AC，AB，BC于点D，E，F．

(1)、求 $\frac{P D}{A B}$ 的值．

(2)、若AB=12cm，求PD+PE+PF的值．

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15. 我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.

(1)、概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.（填“是”或“否”）

(2)、问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 $\frac{A C}{B C}$ 的值.

(3)、应用拓展：
如图3，已知l₁∥l₂ ， l₁与l₂之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的 $\sqrt{2}$ 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l₂于点D，直接写出CD的值.

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