湖南省岳阳市临湘市2025届高三上学期11月期中考试数学试题

试卷更新日期:2024-12-01 类型:期中考试

一、单选题(共40分)

  • 1. 复数2+i13i在复平面内对应的点所在的象限为(       )
    A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
  • 2. 若a,bR , 且a>b , 则(       )
    A、a<b B、a>b C、a2<b2 D、1a>1b
  • 3. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃,风吹铃动,悦耳清脆,亦称惊鸟铃.若一个惊鸟铃由铜铸造而成,且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥,两圆锥的轴在同一条直线上,截面图如下,其中O1O3=20cmO1O2=2cmAB=16cm , 若不考虑铃舌,则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据:π3 , 铜的密度为8.96g/cm3)(       )

    A、1kg B、2kg C、3kg D、0.5kg
  • 4. 已知a>0,b>0 , 则“a+b>2”是“a2+b2>2”的(     )
    A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
  • 5. 在ABC中,D为边BC上一点,DAC=2π3,AD=4,AB=2BD , 且ADC的面积为43 , 则sinABD=(       )
    A、1538 B、15+38 C、534 D、5+34
  • 6. 设函数 f(x)=sin(ωx+π3) 在区间 (0π) 恰有三个极值点、两个零点,则 ω 的取值范围是(    )
    A、[53136) B、[53196) C、(13683] D、(136196]  
  • 7. 直线l过双曲线E:x2a2y2b2=1a>0,b>0的左顶点A,斜率为12 , 与双曲线的渐近线分别相交于M,N两点,且3AM=AN , 则E的离心率为(       )
    A、2 B、3 C、2 D、5
  • 8. 已知函数f(x)=ax+ex-(1+ln a)x(a>0 , a≠1),对任意x1 , x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤aln a+e-4恒成立,则a的取值范围为(       )
    A、12,e B、[2,e] C、[e,+∞) D、(e,+∞)

二、多选题(共20分)

  • 9. 已知数列an是等差数列,bn是等比数列,则下列说法中正确的是(       )
    A、将数列an的前m项去掉,其余各项依次构成的数列是等差数列 B、数列a1+a2+a3a4+a5+a6a7+a8+a9 , …,是等差数列 C、将数列bn的前m项去掉,其余各项依次构成的数列不是等比数列 D、数列b1b2b2b3b3b4b4b5 , …,是等比数列
  • 10. 已知函数fx=axgx=logax(a>0a1) , 若两函数图象相交,则其交点的个数可能是(       )
    A、1 B、2 C、3 D、4
  • 11. 已知函数fx的定义域为Rf1=1fx+y=fx+fy+fxfy , 则(       )
    A、f0=1 B、fxfx0 C、y=fxfx+2为奇函数 D、k=15f2k12<2112
  • 12. 设fx是定义在R上的可导函数,其导数为gx , 若f3x+1是奇函数,且对于任意的xRf4x=fx , 则对于任意的kZ , 下列说法正确的是(       )
    A、4k都是gx的周期 B、曲线y=gx关于点2k,0对称 C、曲线y=gx关于直线x=2k+1对称 D、gx+4k都是偶函数

三、填空题(共20分)

  • 13. 已知sin α=55 , sin(α-β)=-1010 , α,β均为锐角,则β=.
  • 14. 现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ , 则P(ξ=2)=
  • 15. 设函数fx=x+alnx+b , 若fx0恒成立,则a2+b2的最小值为.
  • 16. 已知函数fx=3x,0x1,lnx,x>1,若存在实数x1,x2满足0x1<x2 , 且fx1=fx2 , 则x26x1的取值范围为.

四、解答题(共70分)

  • 17. ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,cDAC边上的一点,且满足CD=2AD , 若c=3,BD=19b2ca=cosBcosA
    (1)、求B
    (2)、求三角形ABC的面积.
  • 18. 已知向量a=3sinx,cosxb=cosx,cosx , 函数fx=ab+32
    (1)、求函数y=fx的最小正周期;
    (2)、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠ACB的角平分线交AB于点D,若fC恰好为函数fx的最大值,且此时CD=fC , 求3a+4b的最小值.
  • 19. 已知函数f(x)=xexx.
    (1)、求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
    (2)、求f(x)的单调区间;
    (3)、设t>0 , 若f(es)f(s1t)对于s(0,+)恒成立,求t的最小值.
  • 20. 一个半径为2米的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1米.已知水轮按逆时针作匀速转动,每6秒转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.

    (1)、以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:米)表示为时间t(单位:秒)的函数;
    (2)、在水轮转动的任意一圈内,有多长时间点P距离水面的高度不低于2米?
  • 21. 已知椭圆C的标准方程x22+y2=1 , 其左右焦点分别为F1,F2
    (1)、过点H(2,0)的直线交椭圆CA,B两点,若AF1BF1 , 求直线AB的方程;
    (2)、直线l1,l2过右焦点F2 , 且它们的斜率乘积为12 , 设l1,l2分别与椭圆交于点C,DE,F . 若M,N分别是线段CDEF的中点,证直线MN过定点,并求OMN面积的最大值.
  • 22. 多元导数在微积分学中有重要的应用.设y是由abc…等多个自变量唯一确定的因变量,则当a变化为a+Δa时,y变化为y+Δy , 记limΔa0ΔyΔaya的导数,其符号为dyda.和一般导数一样,若在a1,a2上,已知dyda>0 , 则y随着a的增大而增大;反之,已知dyda<0 , 则y随着a的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外,还具有下列性质:①可加性:dy1+y2da=dy1da+dy2da;②乘法法则:dy1y2da=y2dy1da+y1dy2da;③除法法则:dy1y2da=y2dy1day1dy2day22;④复合法则:dy2da=dy2dy1dy1da.记y=ex+1ex2lnx12ex2exa.(e=2.7182818为自然对数的底数),
    (1)、写出dydxdyda的表达式;
    (2)、已知方程y=0有两实根x1,x2x1<x2.

    ①求出a的取值范围;

    ②证明dx1+x2da>0 , 并写出x1+x2a的变化趋势.