河北省保定市2025届高三上学期摸底考试（一模）数学试题

试卷更新日期：2024-11-11 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.

1. 已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x ∣ x < 5, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1]$

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2. 已知 $z = \frac{2 (1 - i)}{1 + i}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、0 B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 2, λ)$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{5}, (λ > 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、0

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4. 若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径 $r$ 的数值为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{3}$

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5. 设函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 为偶函数.当 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ 时， $|x_{1} - x_{2}|$ 有最小值2，则 $ω$ 和 $φ$ 的值分别是（）

A、 $ω = π, φ = 0$ B、 $ω = π, φ = \frac{π}{2}$ C、 $ω = \frac{π}{2}, φ = \frac{π}{2}$ D、 $ω = \frac{π}{2}, φ = 0$

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6. 若 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a = 4, b = 16, C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于 $D$ ，且 $C D = 4$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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7. 已知 $a b > 0$ 且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b + 1}{a b}$ 的最小值是（）

A、12 B、16 C、15 D、14

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8. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x| - 1, & - 1 \leq x < 1, \\ 2 f (x - 2), & 1 \leq x \leq 7, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 至少有5个不等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[- 4, 0]$ D、 $[- 8, 0]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9. 函数 $y = a^{x} - \frac{1}{a} (a > 1)$ 的图象经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10. 若 $l$ 是平面 $α$ 的一条斜线， $l \cap α = O$ ，直线 $a \subset$ 平面 $α$ 且 $O \notin$ 直线 $a$ ，记直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $l$ 与 $a$ 是一对异面直线 B、若点 $A$ 和 $B$ 分别为直线 $l$ 上和平面 $α$ 内异于点 $O$ 的点，则 $∠ A O B \geq θ$ C、若 $M$ 和 $N$ 分别是直线 $l$ 与 $a$ 上的动点，则满足 $M N ⊥ l$ 且 $M N ⊥ a$ 的直线不唯一 D、过直线 $a$ 有且只有唯一平面与直线 $l$ 平行

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11. 若函数 $f (x) = x ln x - \frac{1}{2} m x^{2} - x$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{2} > x_{1})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $m = 1$ 时满足条件 B、不存在实数 $m$ 使得 $x_{1}, x_{2}$ 均为正整数 C、当 $x_{2} \geq x_{1}^{3}$ 时， $m$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3} ln 3}{6}$ D、对任意正整数 $n$ ，均存在对应的 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $n = \frac{x_{2}^{2} - x_{1}^{2}}{ln (x_{1} x_{2})}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.

12. 已知曲线 $y = e^{x - 1} + a x^{3} + 1$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为4，则实数 $a$ 的值为.

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13. 函数 $f (x) = {cos}^{2} x + sin x cos x + 1$ 的最小正周期是， $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递减区间是.

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14. 已知递增数列 $\{a_{n}\}$ 共有 $m$ 项（ $m \in N^{*}, m$ 为定值）且各项均不为零，末项 $a_{m} = 1$ .若从数列 $\{a_{n}\}$ 中任取两项 $a_{i}$ 和 $a_{j}$ ，当 $i < j$ 时， $a_{j} - a_{i}$ 仍是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ （用含 $m$ 和 $n$ 的式子表示.）

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知向量 $\vec{a} = (cos x, 1), \vec{b} = (sin x, - \frac{3}{2})$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，且 $x \in (0, π)$ ，求 $sin x - cos x$ 的值；

(2)、设函数 $f (x) = 2 (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}, x \in [0, \frac{π}{4}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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16. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1} = 2$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，点 $E, F$ 分别为线段 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} E ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B E F$ 的夹角.

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{b}{cos B} = \frac{2 a - c}{cos C}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $2 b^{2} = 2 c^{2} + a c$ ，求 $cos C$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若边 $c = 2$ ，点 $D$ 为线段 $A B$ 上的动点，点 $E$ 为线段 $B C$ 上的动点，且线段 $D E$ 平分 $△ A B C$ 的面积，求线段 $D E$ 长度的最小值.

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} + sin x - 2 x, g (x) = 2 - cos x$ .

(1)、已知直线 $x - y + a = 0$ 是曲线 $y = g (x), x \in [0, π]$ 的切线，求实数a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、求证： $f (x) \geq g (x)$ 恒成立.

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19. 已知数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，对任意正整数 $n, S_{n} = 2 a_{n} - μ$ 恒成立，且 $a_{1} + a_{2} = 12$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，并求实数 $μ$ 的值；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n}}$ ，数列 $(b_{n})$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} > ln \frac{n + 2}{2}$ ；

(3)、当 $n \geq 1$ 时，设集合 $B_{n} = \{a_{i} + a_{j} ∣ 3 \cdot 2^{n + 1} < a_{i} + a_{j} < 3 \cdot 2^{n + 2}\}, 1 \leq i < j$ ， $i, j \in N^{*}$ .集合 $B_{n}$ 中元素的个数记为 $c_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式.

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