四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-30 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知直线 $l$ 经过 $A (1, 1), B (2, 3)$ 两点，则 $l$ 的斜率为（）

A、2 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内，并且对空间任一点 $O$ ， $\vec{O M} = x \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， ...， $x_{n}$ 的平均数为10，标准差为2，则 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， ...， $2 x_{n} - 1$ 的平均数和标准差分别为（）

A、19和2 B、19和4 C、19和8 D、19和16

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4. 分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（）

A、A与B，A与C均相互独立 B、A与B相互独立，A与C互斥 C、A与B，A与C均互斥 D、A与B互斥，A与C相互独立

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5. 已知两平行直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 4 = 0$ 和 $l_{2} : 6 x - 8 y - 2 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、2

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6. 在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（　　）.

A、0.25 B、0.4 C、0.6 D、0.75

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7. 设点 $A (- 1, - 1), B (3, 1)$ ，直线 $l$ 过点 $P (1, 2)$ ，且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、 $(- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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8. 如图，在直三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 3, B C = 4, C C_{1} = 3, ∠ A C B = 90^{\circ}$ ，则 $B C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有多选、错选的得0分．

9. 在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（）

A、该班级此次练习数学成绩的均分为118 B、该班级此次练习数学成绩的方差为16.625 C、利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生 D、从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为 $\frac{24}{39}$

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10. 在四面体 $P A B C$ 中，下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ B、若Q为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{P Q} = \frac{1}{3} \vec{P A} + \frac{1}{3} \vec{P B} + \frac{1}{3} \vec{P C}$ C、若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$ D、若四面体 $P A B C$ 的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则 $|\vec{M N}| = 1$ ．

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11. 直线 $l_{1}$ 的方程为 $x + 2 y - 4 = 0$ ，若 $l_{2}$ 在x轴上的截距为 $\frac{3}{2}$ ，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ．则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点坐标为 $(2, 1)$ ，直线 $l_{2}$ 在y轴上的截距是 $- 3$ B、已知直线 $l_{3}$ 经过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍， $l_{3}$ 的方程为 $2 x + y - 5 = 0$ C、已知动直线 $l_{4}$ 经过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，当原点到 $l_{4}$ 距离最大时， $(4, 2)$ 到 $l_{4}$ 距离为 $\sqrt{5}$ D、直线 $L_{1} : a x + 3 y + 1 = 0$ ， $L_{2} : 2 x + (a + 1) y + 1 = 0$ ，若 $L_{1} // L_{2}$ ，则 $a = - 3$ 或2

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上．

12. 已知直线经过 $l : k x - y + 1 + 2 k = 0 (k \in R)$ ，则该直线过定点．

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13. 数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是．

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14. 在棱长为1的正方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} - A B C D$ 中， $M$ 为底面 $A B C D$ 的中心， $Q$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上一点，且 $\vec{D_{1} Q} = λ \vec{D_{1} A_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ， $N$ 为线段 $A Q$ 的中点，给出下列命题：
① $C, M, N, Q$ 四点共面；
②三棱锥 $A - D M N$ 的体积与 $λ$ 的取值有关；
③当 $∠ Q M C = 90 °$ 时， $λ = 0$ ；
④当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，过 $A, Q, M$ 三点的平面截正方体所得截面的面积为 $\sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
其中正确的有（填写序号）.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是 $\frac{2}{3}$ ， A，B，C三人闯关都成功的概率是 $\frac{1}{6}$ ， A，B，C三人闯关都不成功的概率是 $\frac{1}{12}$ ．

(1)、求B，C两人各自闯关成功的概率；

(2)、求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；

(3)、求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．

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16. 在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0$ ， $a \in R$

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、已知原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为4，求 $a$ 的值；

(3)、已知直线 $l$ 在两条坐标轴上截得的截距相等，求 $a$ 的值．

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17. 已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是边长为2的正方体，点E为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点F为 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} ⊥ E F$ ；

(2)、求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值．

(3)、求点 $C_{1}$ 到直线 $B D_{1}$ 的距离．

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18. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
质量指标值
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75)$
$[75, 85)$
$[85, 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ (同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；

(2)、设 $[x]$ 表示不大于x的最大整数， ${x}$ 表示不小于x的最小整数，s精确到个位， $a_{n} = 5 \cdot \{\frac{x - n s}{5}\}$ ， $b_{n} = 5 \cdot [\frac{x + n s}{5}]$ ， $n \in N^{*}$ ，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有 $65 %$ 落在 $[a_{1}, b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有 $95 %$ 落在 $[a_{2}, b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

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19. 如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ， $E, F$ 分别为 $D C, B C$ 的中点，上下底面中心的连线 $O_{1} O$ 垂直于上下底面，且 $O_{1} O$ 与侧棱所在直线所成的角为 $45^{\circ}$ .

(1)、求证： $B D_{1}$ ∥平面 $C_{1} E F$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $C_{1} E F$ 的距离；

(3)、边 $B C$ 上是否存在点 $M$ ，使得直线 $A_{1} M$ 与平面 $C_{1} E F$ 所成的角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{22}}{22}$ ，若存在，求出线段 $B M$ 的长；若不存在，请说明理由

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质量指标值	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$	$[75, 85)$	$[85, 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80