配方法求最值—人教版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-01 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 不论x取何值，x﹣x²﹣1的值都（）

A、大于等于﹣ $\frac{3}{4}$ B、小于等于﹣ $\frac{3}{4}$ C、有最小值﹣ $\frac{3}{4}$ D、恒大于零

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2. 关于式子a²﹣2a+3的说法正确的是（）

A、当a＝1时，式子有最大值2 B、当a＝1时，式子有最小值2 C、当a＝﹣1时，式子有最大值2 D、当a＝﹣1时，式子有最小值2

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3. $若 p = x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 2028 ， p 的最小值是$ （）

A、2028 B、2023 C、2022 D、2020

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4. 设 $a$ ， $b$ 为实数，多项式 $(x + a) (2 x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $p$ ，多项式 $(2 x + a) (x + b)$ 展开后 $x$ 的一次项系数为 $q$ ：若 $p + q = 6$ ，且 $p$ ， $q$ 均为正整数，则（）

A、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值也相等 B、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值不相等 C、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值不相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值相等 D、 $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最大值不相等， $a b$ 与 $\frac{a}{b}$ 的最小值也不相等

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二、填空题

5. 关于 $x$ 的式子 $x^{2} + 6 x - 9$ ，当 $x =$ 时，式子有最值，且这个值为.

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6. 利用 $(a \pm b)^{2}$ 可求某些整式的最值．例如， $x^{2} - 2 x + 3 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = (x - 1)^{2} + 2$ ，由 $(x - 1)^{2} \geq 0$ 知，当 $x = 1$ 时，多项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 有最小值 $2$ ．对于多项式 $3 x^{2} + 2 x + 1$ ，当 $x =$ 时，有最小值是．

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三、解答题

7. 阅读材料：形如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解： $a^{2} + 6 a + 8$ ．

解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$

      $= (a + 3)^{2} - 1$

      $= (a + 3 - 1) (a + 3 + 1)$

      $= (a + 2) (a + 4)$

（二）用配方法求代数式 $a^{2} + 6 a + 8$ 的最小值．

解：原式 $= a^{2} + 6 a + 9 - 1$

      $= (a + 3)^{2} - 1$

∵ $(a + 3)^{2} \geq 0$ ， ∴ $(a + 3)^{2} - 1 \geq - 1$ ， ∴ $a^{2} + 6 a + 8$ 的最小值为 $- 1$ ．

(1)、若代数式 $x^{2} - 10 x + k$ 是完全平方式，则常数k的值为；

(2)、因式分解： $a^{2} - 12 a + 32 =$ ；

(3)、用配方法求代数式 $4 x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值；

(4)、拓展应用：
若实数a，b满足 $a^{2} - 5 a - b + 7 = 0$ ，则 $a + b$ 的最小值为．

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8. 配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等.如：求代数式的最值： $x^{2} + 2 x + 2 = {(x + 1)}^{2} + 1$ ，在 $x = - 1$ 时，取最小值1.

(1)、求代数式 $x^{2} - 4 x$ 的最小值.

(2)、 $- 2 x^{2} - 4 x + 5$ 有最大还最小值，求出其最值.

(3)、求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的最小值.

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9. 阅读材料：把形如 $a x^{2} + b x + c$ 的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①我们可以将代数式 $a^{2} + 6 a + 10$ 进行变形，其过程如下：
$a^{2} + 6 a + 10 = (a^{2} + 6 a) + 10 = (a^{2} + 6 a + 9) + 10 - 9 = {(a + 3)}^{2} + 1$
∵ ${(a + 3)}^{2} \geq 0$ ，
∴ ${(a + 3)}^{2} + 1 \geq 1$ ，
因此，该式有最小值1．
材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式 $A = x^{2} + 2 x + 1$ ， $B = (x + 4) (x - 2)$ ， $A - B = (x^{2} + 2 x + 1) - (x + 4) (x - 2) = (x^{2} + 2 x + 1) - (x^{2} + 2 x - 8) = 9$ ，
则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．

(1)、已知多项式 $C = x^{2} + x - 1$ ， $D = (x + 2) (x - 1)$ ，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅常值”；

(2)、已知多项式 $M = {(x - a)}^{2}$ ， $N = x^{2} - 2 x + b$ （a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为 $- 2$ ，求M关于N的“雅常值”．

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10. 阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式或(其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²+2ab+b²=(a+b)²配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：

①我们可以将代数式a²+6a+10进行变形，其过程如下 a²+6a+10=(a²+6a)+10=(a²+6a+9)+10-9=(a+3)²+1

∵(a+3)²≥0

∴(a+3)+1≥1，

因此，该式有最小值1

②已知：a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0将其变形， a²2ab+2ac+b²++2bc+c²=0 a²+2a(b+c)+(b+c)²= 可得(a+b+c)²=0

(1)、按照上述方法，将代数式x²+8x+20变形为a(x+h)²+k的形式；

(2)、若p=-x²+2x+5，求p的最大值；

(3)、已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+2b²+c²-2b(a+c)=0，试判断此三角形的形状并说明理由；

(4)、已知：a=2020x+2019， b=2020x+2020，c=2020x+2021，直接写出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值．

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