换元法知二推二—人教版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-01 类型：复习试卷

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1. 已知 ${(x - 2023)}^{2} + {(x - 2025)}^{2} = 4050$ ，则 ${(x - 2024)}^{2}$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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2. 已知 ${(a + b)}^{2} = 4 ， {(a - b)}^{2} = 8$ ，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ 的值等于（　　）

A、6 B、 $- 6$ C、12 D、 $- 12$

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3. 已知 ${(m - n)}^{2} = 32$ ， ${(m + n)}^{2} = 200$ ，则 $m^{2} + n^{2}$ 的值为（）

A、116 B、117 C、118 D、232

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4. 已知(2021-a) (2020-a) =4，则(2021-a)²+ (2020-a)²的值为（）

A、9 B、8 C、7 D、12

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5. 已知a=2023x+2022，b=2023x+2023，c=2023x+2024，则a²+b²+c²-ab-ac-bc的值是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 已知 $（ x + y ）^{2} = 25 ，（ x - y ）^{2} = 9$ ，则 $x y =$ .

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7. 已知 $a > 0 ， b > 0 ， (3 a + 3 b + 1) (3 a + 3 b - 1) = 899$ ，则 $a + b =$

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8. 已知 $（ a + b ）^{2} = 7 ，（ a - b ）^{2} = 3$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ， $\frac{1}{a^{2} + 2} + \frac{1}{b^{2} + 2} =$

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9. 已知 $x = \frac{1}{2} (\sqrt{7} + \sqrt{5}) ， y = \frac{1}{2} (\sqrt{7} - \sqrt{5})$ ，求下列各式的值：
（1） $x^{2} + y^{2}$
（2） $x^{2} - y^{2}$ ．
（3） $\frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

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10. 已知 $x = \sqrt{7} + \sqrt{5} ， y = \sqrt{7} - \sqrt{5} ，$ 求下列代数式的值：

(1)、 $x^{2} - x y + y^{2}$

(2)、 $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1) .$

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11. 已知(a+b)²=17，(a- b)²=13，
求：

(1)、a²+b²的值；

(2)、ab的值．

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12. 已知 ${(a + b)}^{2} = 7 ， {(a - b)}^{2} = 3$ .

(1)、求 $a^{2} + b^{2}$ 、 $a b$ 的值；

(2)、求 $a^{4} + b^{4}$ 的值.

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13. 问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为 $a, b$ 的两个正方形和边长为 $a, b$ 的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1______；图2______；（用字母 $a, b$ 表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题
（1）已知 $a + b = 7, a b = 12$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；
（2）已知 $(2024 - x) (2022 - x) = 2023$ ，求 ${(2024 - x)}^{2} + {(x - 2022)}^{2}$ 的值．

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