倒数型知二推二—人教版数学八（上）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-01 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$ ，则 $a - \frac{1}{a} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{11}$

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2. 已知 $a - \frac{1}{a} = 2 \sqrt{2}$ ，那么 $a + \frac{1}{a}$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\pm 2 \sqrt{3}$ C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{6}$

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3. 已知 $a + \frac{1}{a}$ ＝ $\sqrt{5}$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ ＝（）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{10}$ ，则 $a - \frac{1}{a}$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

5. 已知： $m - \frac{1}{m} = 5$ ，则 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}} =$ .

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6. 已知 $a + \frac{1}{a} = 4$ ，则 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ 的值是．

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三、解答题

7. 已知 $a + \frac{1}{a} = \sqrt{7}$ ，求下列各式的值；

(1)、 $a^{2} + \frac{1}{a^{2}}$ ；

(2)、 $a_{}^{2} - \frac{1}{a_{}^{2}}$ ．

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8. 已知x+ $\frac{1}{x}$ =4，求下列各式的值。

(1)、x²+ $\frac{1}{x^{2}}$

(2)、x⁴+ $\frac{1}{x^{4}}$

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9. 已知 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ ，求 $x + \frac{1}{x} ， x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ， x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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四、阅读理解题

10. 阅读理解：
已知 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 的值.
解：因为 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ ，所以 $x^{2} + 1 = 3 x$ .
又因为 $x \neq 0$ ，所以 $x + \frac{1}{x} = 3$ .
所以 ${(x + \frac{1}{x})}^{2} = 3^{2}$ ，即 $x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = 9$ ，所以 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 7$ .
请运用以上解题方法，解答下列问题：
已知 $m^{2} - \sqrt{11} m + 1 = 0$ ，求下列各式的值：

(1)、 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$

(2)、 $m - \frac{1}{m}$ .

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11. 【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值．
解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ 知 $x \neq 0, ∴ \frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ ①
$∴ \frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$ ②，故 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$ ．
（1）第①步由 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ 得到 $x + \frac{1}{x} = 3$ 逆用了法则：______；第②步 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2$ 运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = - 1$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} - 7 x^{2} + 1}$ 的值；

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