三角形的内切圆与内心—浙教版数学九（下）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-01 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）

A、12 B、14 C、16 D、18

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2. 已知正三角形的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{3}}{3} c m$ ，则它的边长为( )

A、 $2 c m$ B、 $\frac{4}{3} c m$ C、 $2 \sqrt{3} c m$ D、 $\sqrt{3} c m$

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3. 如图， $⊙ O$ 内切于 $△ A B C$ ，切点分别为D，E，F，连结OE，OF，DE，DF.若 $∠ B = 5 0^{°}, ∠ C = 6 0^{°}$ ，则 $∠ E D F$ 等于( )

A、 $4 0^{°}$ B、 $5 5^{°}$ C、 $6 5^{°}$ D、 $7 0^{°}$

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4. 在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是 $△ A B C$ 的（）

A、三条高的交点 B、重心 C、三条角平分线的交点 D、外心

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5. 依据圆规作图的痕迹，可以用没有刻度的直尺确定 $△ A B C$ 的内心的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图， $I$ 是 $△ A B C$ 的内心.若 $∠ A = 10 0^{°}$ ，则 $∠ B I C$ 的度数是；若 $∠ B I C = 12 5^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数是.

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7. 如图，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心．若∠BOC=140°，则∠BIC=

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8. 已知：如图，在等腰三角形ABC中， $C A = C B, D$ 是腰BC上的一点， $△ A C D$ 的内切圆 $⊙ O$ 分别与边AD，BC，AC相切于点E，F，G.求证： $A E = B F$ .

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9. 如图，已知 $△ A B C$ ，用直尺和圆规作 $△ A B C$ 的内切圆.

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10.
如图，在△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠A=70°，求∠FDE．

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二、能力提升

11. 如图，四边形 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 在边 $C D$ 上， $D E = 2 C E$ ， $⊙ O$ 与四边形 $A B E D$ 的各边都相切， $⊙ O$ 的半径为 $x$ ， $△ B C E$ 的内切圆半径为 $y$ ，则 $x : y$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $3$ D、 $\frac{10}{3}$

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12. 如图，点 $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，连接 $A I$ 并延长交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A I = 2 C D$ ，则 $\frac{A E}{E D}$ 的值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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13. 点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，也是 $△ B C D$ 的内心，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是（）

A、80° B、90° C、100° D、110°

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14. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，切点分别是D，E，F.若 $∠ B C A = 9 0^{°}, A D = 5 c m, D B = 3 c m$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $c m^{2}$ .

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15. 已知，如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C ＞ A C ，$ 点P是 $△ A B C$ 的内心，延长 $C P$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B P$ .

(1)、求证： $B D ＝ P D$ ；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径是 $3 \sqrt{2}$ ， $C D ＝ 8$ ，求 $B C$ 的长.

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16. 已知：△ABC内接于⊙O，∠BAC的角平分线AD交⊙O于点D.

(1)、如图①，以点D为圆心，DB长为半径作弧，交AD于点I.求证：点I是△ABC的内心；

(2)、如图②，在（1）的条件下，若AD与BC交于点E.求证： $\frac{D I}{D E} = \frac{C A}{C E}$ ；

(3)、探究：如图③，△ABC内接于⊙O，若BC＝8，∠BAC＝120°，求△ABC内切圆半径的最大值.

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三、拓展创新

17. 如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S₁ ， S₂ ， S₃ ， …，S₁₀ ，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=（）

A、4π B、3π C、2π D、π

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18. 把圆分成 $n (n ⩾ 3)$ 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 $n$ 边形.如图， $⊙ O$ 的半径是 $R$ ，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长.

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19. 【阅读材料】已知，如图1，在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∵S=S_△_OBC+S_△_OAC+S_△_OAB= $\frac{1}{2}$ BC•r+ $\frac{1}{2}$ AC•r+ $\frac{1}{2}$ AB•r= $\frac{1}{2}$ ar+ $\frac{1}{2}$ br+ $\frac{1}{2}$ cr= $\frac{1}{2}$ （a+b+c）r．
∴r= $\frac{2 S}{a + b + c}$ ．
（1）【类比推理】如图2，若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；
（2）【理解应用】如图3，在Rt△ABC中，内切圆O的半径为r，⊙O与△ABC各边分别相切于D、E和F，已知AD=3，BD=2，求r的值．

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20. 阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ .

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d²＝R²﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴ $\frac{I M}{I A} = \frac{I D}{I N}$ ，

∴ $I A \cdot I D = I M \cdot I N$ ①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴ $\frac{I A}{D E} = \frac{I F}{B D}$ ，∴ $I A \cdot B D = D E \cdot I F$ ②，

任务：

(1)、观察发现： $I M = R + d$ ， $I N =$ (用含R，d的代数式表示)；

(2)、请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)、请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(4)、应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

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