三角函数之间的关系—浙教版数学九（下）知识点训练

试卷更新日期：2024-12-01 类型：复习试卷

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一、基础夯实

1. 在△ABC中，∠C=90°，如果tanA= $\frac{3}{4}$ ，那么sinB的值等于（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 在△ABC中，∠C=90°，sinA= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则cosB的值为( )

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3. 在直角ΔABC中，已知∠C＝90°， $sinA = \frac{1}{3}$ ，求cosA=（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 下列等式成立的是( )

A、 $s i n 3 0^{°} + s i n 3 0^{°} = s i n 6 0^{°}$ . B、 $c o s (6 0^{°} - 3 0^{°}) = c o s 6 0^{°} - c o s 3 0^{°}$ . C、 $\frac{c o s 3 0^{°}}{s i n 3 0^{°}} = t a n 3 0^{°}$ . D、 $s i n^{2} 3 0^{°} + c o s^{2} 3 0^{°} = 1$ .

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5. 如果α是锐角，且cosα= $\frac{4}{5}$ ，那么sinα的值是( )

A、_{$\frac{9}{25}$} B、 $\frac{4}{5}$ C、_{$\frac{3}{5}$} D、_{$\frac{16}{25}$}

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6. 已知 $α$ 是锐角， $s i n α = c o s 30 °$ ，则 $α$ 的值为（）

A、30° B、60° C、45° D、无法确定

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7. 已知α为锐角，且sinα= $\frac{5}{13}$ ，那么α的余弦值为（　　）

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= $\frac{5}{13}$ ，则tanA的值为（　　）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{12}{5}$

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9. 已知α是锐角且tanα= $\frac{3}{4}$ ，则sinα+cosα=

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10. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，已知 $s i n A = \frac{2}{3}$ ，那么 $c o s B$ 的值是．

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11. 若 $α$ 为锐角，且 $\sin^{2} α + \cos^{2} 26 ° = 1$ ，则 $α =$ °.

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12. 计算：

(1)、sin²60°﹣tan30°•cos30°+tan45°

(2)、cos²45°+sin²45°+sin²54°+cos²54°

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13. 已知：等腰三角形ABC中，AB＝AC ， ∠A是锐角，且tanA＝ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

(1)、求sinA；

(2)、若BC＝ $2 \sqrt{3}$ ，求AB的长．

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14. 小明在某次作业中得到如下结果：
sin²7°+sin²83°≈0.12²+0.99²=0.9945，
sin²22°+sin²68°≈0.37²+0.93²=1.0018，
sin²29°+sin²61°≈0.48²+0.87²=0.9873，
sin²37°+sin²53°≈0.60²+0.80²=1.0000，
sin²45°+sin²45°=（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）²+（ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）²=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin²α+sin²（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin²α+sin²（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

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二、能力提升

15. 以下说法正确的是（）

A、存在锐角 $θ$ ，使得sin² $θ$ +cos² $θ$ >1 B、已知∠A为Rt△ABC的一个内角，且∠A<45°，则sinA<cosA C、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B为Rt△ABC的两个内角，则sinA不一定等于cosB D、存在锐角 $θ$ ，使得sin $θ$ ≥tan $θ$

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16. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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17. 如图是以 $△ A B C$ 的边 $A B$ 为直径的半圆 $O$ ，点 $C$ 恰好在半圆上，过 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ．已知 $c o s ∠ A C D = \frac{3}{5} ， B C = 2$ ，则 $A C$ 的长为．

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18. 如图，在△ABC中，∠ACB= $90 °$ ，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．

(1)、求 $cos ∠ A D E$ 的值；

(2)、当 $D E = D C$ 时，求 $A D$ 的长．

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三、拓展创新

19. 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题．
sin²30° + cos²30°=
sin²45°+cos²45°=
sin² 60°+cos² 60°=
……
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=

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20. 计算：tan1°·tan2°·tan3°……tan87°·tan88°·tan89°= ．

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