吉林省长春市第十七中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2024-11-04 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 1 = 0}$ ，下列式子错误的是（）

A、 $1 \in A$ B、 ${- 1} \in A$ C、 $\emptyset \subseteq A$ D、 $\{- 1, 1\} \subseteq A$

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2. 在 $R$ 上定义的运算 $\otimes : a \otimes b = a b + 2 a + b$ ，则满足 $x \otimes (x - 2) < 0$ 的实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 2)$

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3. 若 $x$ ， $y \in R$ ，则“ $x > y$ ”的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $|x| > |y|$ B、 $x^{2} > y^{2}$ C、 $\frac{x}{y} > 1$ D、 $x - y > 1$

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4. 已知集合 $A$ 满足 $\{0, 1\} \subseteq A \subseteq \{0, 1, 2, 3\}$ ，则集合 $A$ 的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 对于任意的 $x \in R$ ，不等式 $m x^{2} + (m - 1) x < 1 - m$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m < - \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3} < m < 0$ D、 $m > 0$

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6. 将函数 $y = |- x^{2} + 1| + 2$ 向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ 且 $x$ ， $y \in R$ ，则 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{2}) + f$ （1） $+ f$ （2） $+ f$ （3）=（）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、5

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8. 若存在正实数x，y满足于 $\frac{4}{y} + \frac{1}{x} = 1$ ，且使不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (4, + \infty)$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 若 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $\frac{b}{a} < \frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$

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10. 下面命题正确的是（）

A、若 $x, y \in R$ 且 $x + y > 2$ ，则x，y至少有一个大于1 B、“ $\forall$ $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“ $\exists$ $x < 1$ ，则 $x^{2} \geq 1$ ” C、已知 $3 < x < 7, 1 < y < 2$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是 $(\frac{2}{7}, \frac{1}{3})$ D、设 $a, b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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11. 下列选项中正确的有（）

A、已知函数 $f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 9 x + 8$ ，则 $f (x)$ 的解析式可能为 $f (x) = - 3 x - 4$ B、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x > 0 \\ - 1, x \leq 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 C、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 2$ 的交点最多有1个 D、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} f (x - 2), x \geq 0 \\ 2 x^{2} - 3 x, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (1) =$ 5

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知数集 $\{0, - 1, 2 a\} = \{a - 1, - |a|, a + 1\}$ ，则由实数a的值组成的集合为．

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 2} - 1}{\sqrt{6 - 2 x}}$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为

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14. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，三角形的面积 $S$ 可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中 $p$ 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 12, c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为．

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四、解答题（本题共5小题，总分77分）

15. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x > 4}$ ， $B = {x | - 6 < x < 6}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ； $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若集合 $C = {x | x > a}$ ，且 $A \subseteq C$ ，则实数 $a$ 的取值范围.

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16. （1）已知 $x > 1$ ，求 $f (x) = x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值；
（2）已知 $a > b > 0, c > d > 0$ ，证明： $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} < \frac{1}{d} - \frac{1}{c}$ .

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17. （1）已知 $g (x) - 3 g (\frac{1}{x}) = x + 2$ （ $x > 0$ ），求 $g (x)$ 的解析式及值域.
（2）已知函数 $f (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x}$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式，定义域，值域.

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18. （1）若命题p： $\exists 2 \leq x \leq 3$ ， $x^{2} - 4 x + 13 \geq t$ 为真命题，求t的取值范围；
（2）已知集合 $A = {x | - 2 \leq x - 1 \leq 5}$ 、集合 $B = {x | m + 1 \leq x \leq 2 m - 1}$ （ $m \in R$ ）.若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 根据要求完成下列问题：

(1)、已知命题 $p$ ： $\frac{2 x + 7}{x + 3} < 1$ ，命题 $q$ ： $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ （ $a < 1$ ），且命题q是命题p的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

(2)、已知不等式 $| 2 x - 1 | < 2$ 的解集与关于 $x$ 的不等式 $- x^{2} - p x + q > 0$ （ $p, q \in R$ ）的解集相同，若实数 $a, b \in R_{+}$ 满足 $a + b = p + 4 q$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值.

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