广东省深圳市华中师范大学龙岗附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-21 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}, B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则图中阴影部分表示的集合是（）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{1, 3, 5\}$ C、 $\{7, 9\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$

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2. 命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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3. 函数 $f (x) = a^{x} + 1$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过的定点是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, 0)$

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4. “关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + a > 0$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立”的一个必要不充分条件是（）

A、 $0 < a < 1$ B、 $0 < a < 2$ C、 $0 < a < \frac{1}{2}$ D、 $- 1 < a < \frac{1}{2}$

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5. 已知偶函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + x$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $- x^{2} + x$ B、 $- x^{2} - x$ C、 $x^{2} + x$ D、 $x^{2} - x$

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c >0$ 的解集为 $\{x |1< x <3\}$ ，则不等式 $\frac{a x + b}{c x + a} >0$ 的解集为（）

A、 $\{x |− \frac{1}{3} < x <4\}$ B、 $\{x |−4< x <− \frac{1}{3}\}$ C、 ${x| x <− \frac{1}{3}$ 或 $x >4}$ D、 ${x |x <−4$ 或 $x >− \frac{1}{3}}$

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7. 若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 1, x \geq 4, \\ a^{x - 3}, x < 4 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 8]$ D、 $(1, 16]$

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8. 已知 $a = {(\frac{3}{5})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = {(\frac{5}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ， $c = {(\frac{3}{4})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小顺序为（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > a > b$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对于实数 $a, b, c$ ，下列命题为假命题的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ . B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ . C、若 $a < b < 0$ 则 $a^{2} > a b > b^{2}$ . D、若 $c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ .

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10. 有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有 $1$ 个 C、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t + 1$ 是同一函数 D、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[2, 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{3}{2}, 2]$

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11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的结论中，正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 满足： $f (- x) = f (x)$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $[0, 1]$ C、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 1$ D、在 $f (x)$ 图象上不存在不同的三个点 $A 、 B 、 C$ ，使得 $△ A B C$ 为等边三角形

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $\sqrt[6]{64} + 27^{\frac{2}{3}} + {(\frac{1}{100})}^{0} + {(\frac{9}{16})}^{- \frac{1}{2}} =$ .

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13. 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加田径一项比赛的人数是

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14. 在人与自然的斗争中，病毒是一个可怕的敌人，为了抗击某种“疫情”，某制药厂最近新增了一条生产线，该生产线的年固定成本为250万元，每生产 $x$ 千箱防疫物资需另投入成本 $C (x)$ 万元.当年产量大于或等于80千箱时， $C (x) = 61 x + \frac{10000}{x} - 1450$ （万元）；当年产量不足80千箱时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 20 x$ （万元）.每千箱产品的售价为60万元，该厂生产的产品能全部售完.年产量为千箱时，该厂当年的利润最大.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知集合 $A = \{x |- 1 \leq x \leq 4\}, B = \{x |- 1 < x < a\}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B, A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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16. 已知命题 $p$ ：对任意实数 $x$ ，不等式 $m x^{2} - 2 x + \frac{1}{2} > 0$ 恒成立；命题 $q$ ：关于 $x$ 的方程 $4 x^{2} + 4 (m - 2) x + 1 = 0$ 无实数根.

(1)、若p为真命题，求实数 $m$ 的取值范围，

(2)、若的题 $p, q$ 有且只有一个是真命题，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过 $(0, 2)$ 和 $(2, 10)$ 两点，求 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{m x + n}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $m, n$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义法证明你的结论；

(3)、求使 $f (a - 1) + f (a^{2} - 1) < 0$ 成立的实数a的取值范围.

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19. 若二次函数 $y = f (x)$ 对任意 $y = f (x)$ 都满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，其最小值为 $- 1$ ，且有 $\begin{array}{r} f (0) = 0 \end{array}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 2 a - a x$ ；

(3)、设函数 $g (x) = f (x) - (a - 2) x + 3$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 的最小值.

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