上海市市西中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-17 类型：期中考试

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一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共计54分）

1. 集合 $A = {x ∣ 0 \leq x < 4$ 且 $x \in N}$ 的真子集的个数是．

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2. 函数 $y = \ln (2 - 3 x)$ 的定义域是．

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3. 若扇形的圆心角为 $60 °$ ，半径为2，则扇形的弧长 $l =$ ．

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4. 记 $i$ 是虚数单位，设复数 $z = 1 + b i$ $(b > 0)$ 且 $|z| = 2$ ，则复数 $z$ 的虚部为.

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5. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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6. 已知数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 为等比数列， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $a_{n} =$ .

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7. 若函数 $f (x) = a x^{2} - x$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是.

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8. 5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若不改变宽带W，而将信噪比从1000提升至2000，则C大约增加了%.（参考数值 $\lg 2 \approx 0.301$ ）

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9. 函数 $f (x) = 2 sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在 $[0, \frac{π}{3}]$ 上存在最小值 $- 2$ ，则实数 $ω$ 的最小值是.

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10. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n}$ 为正整数， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{array}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2024} =$ .

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} | x | + 2, x < 1, \\ x + \frac{1}{x}, x \geq 1, \end{matrix}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq | \frac{x}{2} + a |$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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12. 对任意两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，定义 $\vec{m} \otimes \vec{n} = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{\vec{n} ^{2}}$ .若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| \geq 3 |\vec{b}|$ ，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角，且 $4 (\vec{b} \otimes \vec{a})$ 是整数，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的取值范围是.

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二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共计18分）

13. a，b中至少有一个不为零的充要条件是（）

A、ab＝0 B、ab>0 C、a²＋b²＝0 D、a²＋b²>0

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14. 下列四个命题：
①若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$
②若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$
③若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$
④若 $a > b > 0$ ， $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$
其中正确命题的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
乙：该函数图象可以由 $y = \cos 2 x - \sqrt{3} \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到；
丙：该函数在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{π}{6})$ 上单调递增；
丁：该函数满足 $f (\frac{π}{3} + x) + f (\frac{π}{3} - x) = 0$ ．
如果只有一个假命题，那么该命题是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16. 我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 2) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 1)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (2) = 1$ B、 $g (2) = 1$ C、函数 $y = f (x) - 1$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 1012$

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三、解答题（共5题，共计78分）

17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 1$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 2 a_{n} + 5$ .
（1）证明： $\{a_{n} + 5\}$ 是等比数列；
（2）若 $S_{n} + 5 n > 128$ ，求 $n$ 的最小值.

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19. 如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台 $P$ ，已知射线 $A B$ ， $A C$ 为两边夹角为 $120^{\circ}$ 的公路（长度均超过3千米），在两条公路 $A B$ ， $A C$ 上分别设立游客上下点 $M$ ， $N$ ，从观景台 $P$ 到 $M$ ， $N$ 建造两条观光线路 $P M$ ， $P N$ ，测得 $A M = \sqrt{3}$ 千米， $A N = \sqrt{3}$ 千米．

(1)、求线段 $M N$ 的长度；

(2)、若 $∠ M P N = 60^{\circ}$ ，求两条观光线路 $P M$ 与 $P N$ 之和的最大值．

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20. 已知函数 $f (x) = - \ln x + (2 + a) x - 2$ .

(1)、若 $f^{'} (1) = 1$ ，求 $a$ 的值；

(2)、设 $a > - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 上无零点，求 $a$ 的取值范围.

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21. $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x)$ 满足对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} - x_{2} \in M$ 时，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) \in M$ ，则称 $f (x)$ 是 $M$ 连续的.

(1)、请写出一个是 $\{1\}$ 连续的函数 $f (x)$ （不必说明理由）；

(2)、证明：若 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，则 $f (x)$ 是 $\{2\}$ 连续且是 $\{1\}$ 连续的；

(3)、当 $x \in [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 时， $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} b x + 1$ （ $a$ ， $b \in N$ ），且 $f (x)$ 是 $[2, 3]$ 连续的，求 $a$ ， $b$ 的值.

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